[대학교이상] 선대) 변환행렬이 선형변환인지 어케 앎?

[익명(58.230)]

T: V -> W가 있고

V의 기저집합은 B

W의 기저집합은 C 가 있을 때

T가 선형변환일 때, 아래처럼.. 변환행렬 A을 구할 수 있잖아

근데 T가 선형변환 인지 아닌지 모르고

A를 구했을 때, A를 가지고 T가 선형변환인지 알 수 있나요??

[익명(58.127)]

선형사상이 아니면 행렬표현이란 것 자체가 말이 안 되지

[익명(58.230)]

음 그렇군요 감사합니다

[아벨22.(ciel7)]

R2에서 R2로 정의된 T(a,b):=(a,b+1) 를 생각해보면 T는 항등원을 항등원으로 옮기지 않기 때문에 선형변환이 아니죠. 하지만 T(1,0) = (1,1), T(0,1)=(0,2)를 계산하여 행렬을 구하고 이 행렬에 (a,b)^T를 곱하면 T(a,b)=(a,a+2b)가 나옵니다.

[아벨22.(ciel7)]

결국 모든 행렬은 일단은 그 자체 linear transformation에 대응되기 때문에 어떤 선형사상이 아닌 사상을 가지고 와서 억지로 행렬을 찾을 수는 있겠지만 그 행렬은 어쨌든 어떤 선형사상에 대응될거고, 따라서 행렬을 보고 원래 그 행렬을 찾을 때 쓴 T가 선형사상인지 아닌지를 확인할 수는 없어요. 윗댓글처럼, 선형사상이 아니면 행렬표현이라는 것 자체가 말이 안 된다 하는게 제일 정확해보입니다.

[익명(58.230)]

답변 감사합니다. 제가 이 질문을 하게된 이유가회전행렬을 유도하면서 궁금했는데T: R^2 -> R^2에서T(u) = u을 t만큼 회전시키는 선형변환이라 가정할때표준기저로 변환행렬을 구하면.A = (cost -sint; sint cost)가 나오잖아요.그럼 앞에서 가정한 T가 선형변환인지 알고 싶어서 질문했습니다그럼 이럴때는 어케해야할지 궁금합니다...

[아벨22.(ciel7)]

(x,y)를 (xcost-ysint, xsint+ycost)로 대응시키는 T가 선형사상이라는 것은 선형사상의 정의로부터 직접 확인 가능합니다. 이 T가 로테이션인것도 확인할 수 있구요. 그러면 이 T의 행렬표현은 말씀하신 A가 될거구요.

[아벨22.(ciel7)]

이 부분이 잘 이해가 안되면, (x,y)=(rcosa, rsina)로 둔 다음 저 변환을 해서 삼각함수 공식 이용해서 정리해보세요

[아벨22.(ciel7)]

정리하면 rcosacost-rsinasint=rcos(a+t), r cosa sint + r sina cos t = rsin(a+t)가 되어 결국은 (x,y)를 a만큼 rotate시킨 것이 (xcost-ysint, xsint+ycost)가 된다는 것을 확인할 수 있습니다.

[아벨22.(ciel7)]

a 만큼이 아니라 t만큼.

[익명(58.230)]

ㅇㅎ 확인해보면 되는걸... 대가리가 맛갔나 봅니다 새벽에 정말 감사합니다~