X_n: 1 또는 -1이고, P(X_n = 1) = P(X_n = -1) = 1/2임.

Σ_(1,∞) (X_n) / n 이 수렴할 확률은? 이 문제고


문제 이름은 random harmonic series의 convergence라고 함

찾다가 중간까지 스포를 봐버려서 내손으로 풀기로했는데 결론을 어떻게 내야할지 모르겠음


이산확률변수 X = 1 or -1, P(X = 1) = P(X = -1) = 1/2에 대해 iid인 X_i를 (i = 1~n)까지 정의.

이 때 E[X] = 0, V[X] = 1


이산확률변수 Y_n = Σ_(1,n) (X_i / i) 로 정의하면

E[Y_n] = ΣE[X_i / i] = 0, V[Y_n] = ΣV[X_i / i] = Σ_(1,n) 1 / i² < Σ_(1,∞) 1 / i² = π²/6


Y = lim(n->∞) Y_n 이라 하면 E[Y] = 0, V[Y] = π²/6이고,

체비쇼프 부등식에 의해 P(|Y| ≥ kπ²/6) ≤ 1/k² 이므로

적당한 수d = kπ²/6가 있을 때 항상 P(|Y| ≥ kπ²/6) ≤ 1/k² = e인 e를 잡을 수 있으므로

Y는 0으로 확률수렴...?(이때부터 확신이 없어짐)


이 다음부터 '그래서 Y=y일 때 수렴한다는건가 아닌가?' 함 정리좀 해주셈;