V=V(xw-yz) in A^4, U = V-V(x,y)


f = w/y in D(y) and z/x in D(x)로 정의하면


f가 U에서 regular map이 됩니다.


문제는 다음 2가지 입니다.


1) V(g) n V가 V(x,y)의 subset이 되게 하는 nonconstant polynomial g in k[x,y,z,w]는 없다. (n은 intersection입니다.)


그런 g가 있다고 가정합니다.


V(g, xw-yz) <= V(x,y) 이므로 (<는 subset을 뜻합니다.)


I(V(x,y)) <= I(V(g, xw-yz))입니다.


(x,y) <= rad((g,xw-yz))입니다.


x^k = g * g_1 + (xw-yz) * g_2

y^l = g * g_3 + (xw-yz) * g_4


(k,l은 자연수, g_1, g_2, g_3, g_4는 k[x,y,z,w]의 polynomial)


z=w=0을 위의 두 식에 집어넣으면


x^k = g(x, y, 0, 0)* g_1 + 0 * g_2

y^l = g(x, y, 0, 0)* g_3 + 0* g_4가 됩니다.


정리하면


g(x,y)*g_1(x,y)=x^k, g(x,y)*g_3(x,y)=y^l입니다.


그럼 g는 x^k와 y^l를 동시에 나누어야 합니다.


그러려면 g(x,y)는 constant가 됩니다. 특히 g(0,0,0,0)=0입니다.


그러니까 g(x,y,z,w)는 사실 g(x,y,z,w) in (z,w)입니다.


(x,y) <= rad(g,xw-yz) <= rad(z,w,xw-yz) = rad(z,w) = (z,w)이므로


모순이 생깁니다.


맞나요?