1. 사진처럼 V가 제시되어 있다면, 집합 V는 집합 R^2과 서로 같은 것이라고 서술을 시작했는데,(V의 정의가 Cartesian Product와 같은 것이므로) 그래도 괜찮을까요?
2. 벡터는 곧 벡터공간 V의 원소인데, 이것과 화살표로 나타내는 벡터는 서로 어떤 관계가 있는지 잘 모르겠습니다.
좌표평면이나 좌표공간상에 나타낼 수 있는 화살표 모양 벡터는 모두 벡터공간의 성질 8가지를 만족하니, 벡터공간이 더 일반화(또는 추상화)된 개념인 것인가요?
3. 결국 집합의 원소가 벡터인데, 왜 이름이 벡터‘집합’이 아니라 벡터‘공간’이라고 지었는지 의문이 듭니다. vector space가 space인 이유가 있나요? 3차원 공간 같은 것만 생각나서 아리송합니다. 이름이 그러니 그냥 받아들이면 될까요?
감사합니다.
1. 집합적으로는 같지만 V는 일반적인 벡터공간이고 R^2는 유클리드 공간이라는 특정 백터공간이라 V를 R^2처럼 다루기엔 무리가 있어 보임 해서 구분해주는 게 좋다고 생각함 2. 위치벡터를 생각하면 벡터를 점으로 생각할 수 있음 종점의 좌표에 의해 벡터가 결정되니까 3. 벡터공간은 벡터를 원소로 가지고 있을 뿐 아니라, 특정 공리들을 만족하는 집합을 부르는 말임 따라서 벡터집합과 벡터공간은 엄연히 다른 거라 구분해주는 거임 정확히는 벡터공간이 벡터집합의 부분집합이 되겠지 - dc App
감사합니다.
1번에 대해 덧붙이자면 V의 벡터들의 연산이 R^2와 다르게 정의될 수도 있기에 둘이 동일시하면 안된다는 거임 - dc App
대표적인 예로 유클리드 공간에서의 내적과 일반 벡터공간에서 내적은 각각 정의하고 있음 그래서 일반 벡터공간에서 내적을 유클리드 공간에서의 내적으로 계산하면 틀리는 경우가 생김 - dc App
감사합니다.
근데 다 떠나서 그냥 저렇게 써져있으면 R^2 라고 써도 아무상관 없긴 할텐데.. 애초에 집합의 n제곱 표기법이 반복된 데카르트 곱을 위한 표기법이라 벡터공간이고 뭐고 그냥 R^2 라고 써도 되는거같음. 뭐 연산을 다르게 정의하고싶으면 R^2 에 대해 연산을 다음과 같이 정의한다~ 라고 하면 될테고
나도 공부를 많이 해본건 아닌데, 어떤 특정한 연산이나 성질이 정의된 집합을 흔히 ~공간이라고 부르는거같음. 어떤 집합에 벡터 연산이 정의되면 벡터공간이고, 내적이 정의되면 내적공간이고, 거리가 정의되면 거리공간이고 등등..
감사합니다.
아마 벡터공간의 특성때문에 그런 이름이 붙었을겁니다. 벡터공간의 원소들을 임의의 축을 가진 좌표계에 나타내면 어떤 벡터공간이던 반드시 완전히 닫혀있지 않은 영역으로 표시됩니다. 그 점이 아마 벡터공간을 발명(?)한 사람에겐 공간으로 보였겠죠?