공부하면서 munkres manifolds 필사하고 있는데 thm 21.3 에 이런 증명방법이 있는걸 발견했음.
근데 이럴거면 함수값을 도출하는 모든 방법으로 V(X)=|det Z| 가 나오는걸 추가로 확인해야 하는거 아님?
그냥 한 가지 방법으로 달랑 |det Z| 나온다고 해서 그걸 함수의 유일성에 대한 증명으로 받아들일 수 있는건가
책에는 이런 증명방법이 이후로도 몇 번 더 나오던데 이를테면
이런거도 있고
이런거도 있고 등등
이런식의 증명은 마치 미적분학에서 드는 잘못의 예시 중 "이변수함수의 점별 연속성을 확인할 때 해당 점을 지나는 단 하나의 직선 위에서 연속이면 연속이라고 판단하는 오류" 를 보는 듯 한 기분이 드는데...
근데 이 책이 나보다 똑똑하니까 잘못하고있는건 나일텐데 아무튼 이런 궁금증이 생겼음.
맨 위 증명은 그래서 스텝1인거임 "존재한다면 저런 성질들을 만족할텐데, 그 성질들을 만족하려면 저런 값을 가질 수밖에 없다"니까 그래서 네 말대로 모든 계산 방법에 대해 일관되게 값이 나오려나? 하는건 존재성에서 보이는거임
내 생각은 저 정믕이 "존재한다면 저런 값을 가질수밖에 없다" 라고 주장은 하는데, 그 주장만큼 증명이 탄탄하지는 않아보여서 (내눈에..) 어쩌면 저런 성질을 만족하면서 다른 값을 갖는 함수가 존재할수도 있지않나 라는 말임.
저 첫 번재 예시의 증명에서 좀 더 구체적으로 콕 찝어서 딴지를 걸어보자면, Z 가 유일함을 먼저 보여야될것같다는게 지금 내 마음임
무슨 뜻인지 알겠음 갭이 이 정리 이전에 나온 정리들로 간극을 메우기 힘들어보일정도임?
사실 부족하다고 볼수 있긴한데 이 책에서 A,Z에 대해 어떤 말을 했는지 머르고 이걸 step2에서 잘 정의되는 걸 보일수도 있는거고 애내하긴함
만약에 "R^n 의 k차원 선형부분공간 W 에 대하여 h(W)=R^k × 0 이도록 하는 직교변환 h:R^n ->R^n 이 '유일하게' 존재함" 가 성립한다면 본문의 증명을 납득할 수 있을거같은데, 문제는 책에서 제시한 도움정리에서는 위 명제에 '유일하게' 가 빠져있음.
근데 딱 봐도 별로 안유일하게 존재할거같아서 문제임. 그럼 주어진 조건대로 도출된 임의의 Z 에 대해 |det Z| 의 값이 다 동일해야되는데 이것도 따로 보여야하는거 아닌가 싶음
실제로 유일하진않긴하니까.. 근데 A의 선택에 따라 Z가 달라지니 그거만 통제하면 어떻게든 되는 문제잖아? 그런걸 다루지않았다면 다음 스텝에서 다루거나 할거같은데 아니라면 약간 부실하다고 할수는 있음
저 step 1 다음으로는 그냥 존재성 증명밖에 안해서 볼거리가 없음. 보니까 실제로 간극이 있고 필요하다면 내가 채워야하는 상황같은데.. det A =1 이라는 것으로부터 얻을 수 있는 정보가 있나 생각중임..
존재성이 아니라 유일성을 보이는 거니까 상관 없겠지
네가 말한 극한 예시에서도 어떤 하나의 직선 위에서 극한이 1이라고 해서 실제 극한이 존재한다고 할 순 없겠지만, 만약 그 점에서 극한이 존재한다면 그 값이 1이어야 한다는 사실은 알 수 있겠지?
명쾌하네
해결 안됐음
명쾌하네
예를들어 본문과 다른 방법으로 도출된 저런 성질 1, 2를 만족하는 함수 F가 존재한다고 가정하고 본문의 증명에서 V를 F로 대체하고 다시 읽어봐 F도 여전히 저런 성질을 가지니까 V를 F로 대체해서 증명을 읽어도 전혀 문제없고 V=F라는 결론이 나옴
step 1 에 나오는 직교행렬 A 의 존재성에는 유일성이 보장되지 않음. 실제로 유일하지도 않고. 따라서 nxn 직교행렬 A,B 와 kxk 행렬 Y,Z 에 대해 AX=(Y O)^t , BX=(Z O)^t 라고 했을때 다음의 두 가지 가능성이 있음. V(X)=V(AX)=|det Y| V(X)=V(BX)=|det Z| 이래도 V 가 유일하다는 성질을 바로 알 수 있는거임?
그러니까 만약 조건을 만족하는 V가 존재하는 게 맞다면 detY의 절댓값이나 detZ의 절댓값이나 똑같다는 사실까지 알 수 있는 거겠지. V를 하나 고정하면 V(X)의 값도 고정되어 있으니까.
네가 고민하는 부분은 Y가 유일하지 않으니 그 선택에 따라 V(X)의 값도 달라질 수 있는거 아니냐는건데, 이건 V 자체의 well definedness와 관련된거고 조건을 만족하는 V가 존재한다는 걸 가정한 이상 지금 신경쓸 필요가 없는거임. Y는 유일하지 않지만 어쨌든 가능한 여러 선택들 중 하나를 고정하고 나면 V(X)는 그 고정된 |detY|
와 무조건 일치해야 하는 거니까. 지금 Y 자체의 선택이 유일하고 말고는 아무 상관이 없는거임.
윗분이 잘답변해주셨는데 너가 궁금한건 V의 존재성에서 풀어야 할 문제임 그런 V가 존재한다면 함수의 정의로부터 V(X)는 하나의값을 가지니까 직교행렬 A,B의 선택과 무관하게 detY, detZ들도 같은 값을 가지고 V가 잘 정의되어있다는결론도 같이나오는거고 스텝1의 유일성 파트는 V의 존재하는지는 둘째치고 있다면 하나뿐이라는 유일성부터증명한거
납득이 될락말락하는데... 나는 저 증명방법이 "구체적인 정의 없이도 성질만으로 함수값을 계산해낼 수 있다" 라고 이해하고 있었는데, 방법론에 대한 이해가 틀리지 않았다면 본문의 증명에 비약이 있는것이고, 방법론에 대한 잘못된 이해를 하고있는거라면 뭔가 납득이 될거같기도 하고..
예를 들어 R3, k=2에서 V(e1,e2)를 계산해보자. 그러면 V가 조건(2)를 만족하는 한 무조건 V(e1,e2)=1이 될 수밖에 없음 (이 경우는 A=identity인 경우). 물론 identity 말고 다른 A를 잘 잡아서 다른 방식으로 계산할 수도 있겠지. 근데 그게 무슨 상관임? 어쨌든 (2)에 의해 무조건 값이 1이 나올 수밖에 없는데
A를 어떻게 다른 식으로 잡고 Z를 어떻게 잡든 상관없이 방금 보인 사실에 의해 V(e1,e2)는 무조건 1임 (물론 조건을 만족하는 V가 존재한다는 가정 아래에서). A가 유일하지 않다? 당연하지. 근데 그게 뭐 어쨌다고? V가 조건 (1),(2)를 만족하기만 하면 무조건 V(e1,e2)=1인거임. V가 뭐든 간에 무조건. 일반적인 X에 대해서도 마찬가지
"근데 그게 무슨 상관임?" 이냐는 말에 납득이 되네요. 유일성 증명에는 존재성을 가정한다는걸 너무 가볍게 생각한게 패인이었는듯
보충설명 하자면 V와 W 둘다 저 성질은 만족한다고 해 봐. 그러면 주어진 X에 대해 본문대로 직교행렬 A와 행렬 Z를 잡고 본문의 루트를 각각 돌리면 V(X)=V(AX)=|det Z|와 W(X)=W(AX)=|det Z|가 나와서 V=W가 얻어짐
이게 곧 유일성을 보인 셈이고
감사합니다