1. group G의 subset A 에 대해서 A의 freegroup F(A)에서 G로 가는 group homomorphism f 의 image를 A로 만들어지는 G의 subgroup 이라고 하는 정의랑
2. A 를 포함하는 G의 모든 subgroup 의 intersecction 으로 정의하는 정의랑
두 정의가 머릿속에서 연결이 안 지어진다 ㅠ
지금까지 보통 이럴땐 정의 하나 택하고 나머지 하나를 iff 정리로 증명하는 느낌으로다가 했는데 이건 감도 안오네
임의의 G의 subgroup H를 생각해봅시다. F(A)의 원소 a는 H의 원소 a와 대응되므로 f는 F(A)에서 H로 가는 homomorphism으로 생각할 수도 있을 것입니다. 따라서 f의 image는 A를 포함하는 H에 모두 포함됩니다. 따라서 H들의 intersection입니다.
H는 A를 포함하는 임의의 subgroup입니다
답변 감사합니다. F(A)의 원소 a는 H의 원소 a와 대응된다는게 무슨 뜻인지 모르겠습니다
흠 그냥 신경쓰지 마시고 f의 image가 모든 H에 포함된다는 것만 생각하시면 될 것 같습니다. F(A)의 원소인 기호 a와 group의 원소인 a에 대해 f(a)=a로 정의되는 건 아시죠? 이 때 f의 image, 즉 f[F(A)]는 a들의 finite product이고 이 product들은 모든 H에 포함됩니다(H가 a들을 포함하는 subgroup,
즉 곱에 대해 닫혀있는 집합이니까요)
음 대충은 이해한것 같습니다. 감사합니다. 어렵네요 free group 이라는게