[대학교이상] 위상 질문하나만

[엔듈(zzzdhfz)]

A,B가 위상공간X의 부분집합일 때

int(A∪B)⊂(cl(A)∪int(B))가 항상 성립함? 증명을 못하겠네

[수학하는놈들(mathematicleoric)]

int(A∪B)의 원소 x를 일단 잡자고. x가 int(B)의 원소라면 OK. x가 int(A∪B)의 원소이지만 int(B)의 원소는 아니라고 해 보자고. 그럼 그게 cl(A)의 원소가 된다를 보이면 되는 거겠지? x가 int(B)에 속하지 않으니까 x의 모든 근방은 항상 X＼B의 원소를 포함하겠지. 또, x가 int(A∪B)에 속하니까 x의 어떤 근방은 A∪B의 부분집합이 돼야겠지. 그럼 그 근방은 B의 부분집합이면 안 되니까 항상 A＼B의 원소를 포함해야겠네? 그놈의 부분근방에 대해서도 마찬가지. 따라서 x는 cl(A)의 원소가 됨.

[엔듈(zzzdhfz)]

선생님덕분에 머리가 맑아졌습니다. 감사합니다