lim(x->∞)일때 최고차항의 계수가 a(a는 0이 아닌 실수)인 n차함수 있다고 치면, a의 부호가 +면 ∞로 발산하고 a의 부호가 -면 -∞로 발산한다는 걸 어떻게 증명해야할지 친구놈한테 물어봤음. 그랬더니 친구놈이 x^n(a+b/x+c/x^2....)로 묶어서 보면 된다고 했음. 근데 분명 내가 책에서 본 고교 수준에서의 극한의 성질은 f(x), g(x) 둘다 수렴할때에 곱이나 합차의 연산을 맘대로 할 수 있었던 것 같은데 위의 식에서 (a+b/x+c/x^2...)은 수렴한다고 쳐도 x^n은 발산해서 저렇게 하면 증명 안되지 않나 궁금함...
내가 저 식을 잘못 이해한 걸까 아니면 다른 방법이 있음? 도와줘 ..
내가 저 식을 잘못 이해한 걸까 아니면 다른 방법이 있음? 도와줘 ..
극한 성질의 역이 성립하지 않지만 전부 옳지 않은 건 아니니까 아니면 같은 차수이면서 계수가 다른 다항식으로 나눠보면 극한값은 계수의 비임을 알고 있잖아? 이걸 기초해서 이번엔 분모가 1이라고 하면 극한은 a 따라 양/음으로 발산
그 생각도 안해본 건 아닌데 차수가 같으면서 계수가 다른 다항식으로 나눴을 때 계수비가 극한값으로 나올 수 있는 이유는 분모 분자를 최고차항으로 나눠서인거잖아? f(x)/g(x) 였다고 하면 f(x)와 1/g(x) 모두 수렴하니깐 이 경우엔 곱으로 봐도 문제가 없음. 근데 우리가 마주한 문제는 분자의 차수가 분모의 차수보다 더 높은 상황인거잖아?
그러면 최고차항(분자의 차수)로 나누면 1/g(x)가 발산해서 곱으로 볼 수 없음...
솔직히 네 말이 맞는 것 같긴 한데 정의대로 엄밀하게 증명해보고 싶어서 ... 애초에 반쪽짜리 고등학교 수준 극한으로는 힘든 걸까?
그러면 귀류법으로 어느 값에 수렴한다고 가정하고 이게 옳지 않음을 보이면? 이건 엡실론 델타랑 비슷하긴 하지만
한번 시도해볼게..
에초에 무한대 발산 정의가 똑바로 안나와있는데 그걸 엄밀하게 보인다는게 말이안되는거같은데
axⁿ이 a>0일때 x->무한대 에서 양의무한대다 랑 양의무한대발산보다 큰 함수는 양의무한대로 발산한다 라는 사실정도는 가정에 포함되어 있어야 증명할수있을듯