이웃한 두 제곱수 사이에 각 쌍의 곱이 같은 서로 다른 네 자연수가 존재하지 않음을 보이시오.


자연수 n ≥ 2, 자연수 a, b, c, d에 대해 a+c+d ≤ 2n, b + 1 ≤ d을 만족하면
n² < n²+a < n²+a+c < (n+1)² - d < (n+1)² - d + b < (n+1)² 가 성립한다.
즉 위의 부등식을 만족하면 n²보다 크고 (n+1)²보다 작은 서로 다른 자연수 4개를 선택하는 것과 같다.

이제 둘 씩 곱한 것이 같다고 하자. 대소관계에 의해
(n²+a)((n+1)² - d + b) = (n²+a+c))(n+1)² - d)이다.
다시 자연수 x, y, z, w에 대해 x = c, y = b, z = n²+a, w = (n+1)² - d라고 하면
↔ z(w + y) = (z + x)w ↔ xw = yz 이고, b + 1 ≤ d ↔ b - a ≤ d - a -1 < d < 2n ≤ n² 이므로 y < z이다.
한편 x = yz/w < yw/w = y 이므로, 1 ≤ x < y < z < w ≤ n(n+2)다.

b + 1 ≤ d ↔ y + w ≤ n(n+2)이고, a = z - n² ≥ 1이므로
x(n(n + 2) - y) ≥ xw = yz ≥ y(n²+1)
⇒ xn(n + 2) ≥ y(n²+x+1) ≥ (x+1)(n²+x+1)
⇒ 0 ≥ x² - (n - 2)x + 1 + n² = (x - (n - 2)/2)² + (3/4)n² - n ≥ (x - (n - 2)/2)² + (1/2)n > 0 이므로 모순.

n²보다 크고 (n+1)²보다 작은 서로 다른 자연수 4개를 선택할 수 없다.