[대학교이상] quadratic form의 max?

[익명(143.248)]

x가 n차원 interval [a,b]^n 에 있다고하면 연속함수 x'Ax가 최대를 가질건데 이 최대를 좀 더 구체적으로 표현 할 수 있음?

A는 일반적인 positive semi definite matrix임

[익명(143.248)]

필요하다면 다음 조건을 추가 해도됨 A의 rank는 n-1이고 eigenvalue가 1 ( n-1 차원) 0 임 ( 1차원) n은 2이상의 짝수고

[TQFT(lemonkx)]

x^tAx의 최댓값은 x가 maximum eigenvalue lambda의 크기가 가장 큰 eigenvector일 때 lambda*max(|a|,|b|)^2가 됨

[익명(143.248)]

댓글 조건 추가하면 1에 대응하는 eigenvector가 n-1개 나올텐데 n-1개의 x중에 젤 큰게 답이라는거임?

[TQFT(lemonkx)]

그러면 그 eigenvector들로 span되는 (n-1)차원 hyperplane 중에 가장 크기가 큰 친구가 됨. 지금은 [a,b]^n을 보고 있으니 hypercube와의 교점을 찾으면 될 것

[익명(143.248)]

ㄳ 그리고 관련내용 ref좀 찾고싶은데 아무거나 가능? 책, 논문, 링크 다가능

[TQFT(lemonkx)]

그냥 일반적인 선대 책이면 다 나오는 내용이라... 구글에 bilinear form의 max/min으로 검색하면 잘 나올 거 같음

[익명(143.248)]

lambda*max(|a|,|b|)^2 << 이게 최대인거 맞음? A = I - 1/2 J (J는 1로 가득 채워진 정사각행렬) 로 놓으면 답이 (a-b)^2/2 나와야할거같은데 lambda 1이라 안나오는거 아님?

[TQFT(lemonkx)]

아 약간 착각했네 max(|a|,|b|)가 hypercube의 경계에 있는 eigenvector의 크기가 되어야함

[TQFT(lemonkx)]

생각해보니까 밑의 글대로 하는게 맞음 x의 크기를 고정해놓고 생각했는데 그러면 안 되네

[익명(58.127)]

직교좌표를 잘 잡으면 A는 좌표축 각각을 적당한 양수만큼 늘리는 사상이니까 결국 공간 위에 적당히 던져둔 큐브 위에서 ax^2+by^2+cz^2+… 꼴의 최댓값을 구하는 문제가 됨. 그래서 그냥 꼭짓점 2^n개에서만 전수조사하면 되지 않을까

[익명(143.248)]

잘 몰라서 그런데 니가말한 형태의 quad가 꼭짓점 2^n만 조사해야하는 이유가 뭐임?

[익명(143.248)]

아 스스로 깨달음

[익명(58.127)]

대충 타원 비슷하게 생긴 게 나올테니까