[대학교이상] 갈루아 이론 질문드립니다.

[익명(58.140)]

후반부에 n!<={F(y1,…,yn):K}임을 증명할 때 S_n이 K를 fix한다는 것을 이용하였습니다. 그런데 F(y1,…,yn)이 E의 normal extension이므로 F(y1,…,yn)은 중간에 있는 K의 normal extension이고, K가 정의로부터 정확히 S_n의 fixed field임을 생각하면 갈루아 이론으로부터 {F(y1,…,yn):K}=|G(F(y1,…,yn)/K)|=|S_n|=n!이라고 뒤의 과정을 보지 않고 결론 내릴 수 있는 것이 맞나요? 책에 굳이 부등호 형태로 써놓은 것을 보면 아닌 것 같아서 질문드립니다.

[ScARfaCE(kayuaao)]

K가 E랑 F(y1,...,yn)의 중간체라고? - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

중간체라고 해도 그 finite galois extension에 관한 정리 쓴 부분에서 E가 F(y1,...)의 galois extension이고 K가 중간체이면 E가 K의 galois extension임만 보장되잖아 - dc App

[익명(118.235)]

중간체라는 것은 E<=K<=f(y1,...,yn)이라는 의미로(field extension이다) 사용하였습니다. 중간체인 것은 첫번째 사진 마지막즈음에 "Of course, E<=K"라는 것으로 보아 맞는 것 같습니다.

[익명(118.235)]

galois extension에 대한 내용은 제가 조사를 잘못 쓴 것 같습니다. E와 K는 모두 F(y1,...,yn)의 subfield이고 첫번째 댓글의 관계를 만족합니다. 그리고 포함관계를 생각하여 두번째 댓글에서 말씀해주신것처럼 (그 댓글에서 말씀해주신 것과 포함관계가 거꾸로인 상황이므로) F(y1,...,yn)이 K의 galois extension이

[익명(118.235)]

라고 결론내었습니다. 글의 조사는 수정하겠습니다.

[ScARfaCE(kayuaao)]

ㄴㄴ 걍 내가 잘못본게 맞음 ㅋㅋㅋ - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

음 F(y1,...,yn)=L로 두면 일단 K가 L_Sn 이였고 Sn이 F를 fix하는 L에서 L로가는 모든 automorphism들의 모임이였잖아 근데 F는 K의 부분체라서 Sn은 K를 fix하는 L에서 L로 가는 automorphism들의 모임의 부분집합이 된다는 보장밖에없음 그래서 우리가 얻는건 n!가 {L:K}보다 작거나 같다는 부등식만 얻게됨 아마 그래서 너가 하는방법대로 안하는거일걸? - dc App

[ScARfaCE(kayuaao)]

갈루아를 안본지 시간이 너무 지나서 일단 이정도까지 밖에는 대답을 못해주겠네 ㅋㅋ - dc App

[익명(118.235)]

네 그래서 제 책(fraleigh입니다)에는 E<=K<=L이고 L이 E의 finite galois extension(제 책에는 finite normal extension)일 때 G(L/E)의 subgroup H에 대해 G(L/L_H)=H, 즉 H가 L_H를 fix하는 automorphism의 전부가 된다고 되어 있습니다.

[익명(118.235)]

그래서 H=S_n이라 하였을 때 부등식이 아니라 등식이 성립하는 것이 아닌가 한 것입니다. 사진을 올려볼테니 혹시라도 시간이 되시면 봐주시면 감사하겠습니다.

[익명(118.235)]

마지막 사진의 3번 항목입니다.

[ScARfaCE(kayuaao)]

내가 필기한 노트 다시 보고왔음 일단 식은 잘 구했고 문제점은 안보임 너가한대로 앞에서 {L:E}가 n!보다 작거나 같다고 하는것만 보이면 갈루아 이론으로 바로 n!={L:K}=[L:K]얻은 다음 차원 정리였나 그걸로 K=E가 같은걸 얻을수있더라 맞게 잘한듯? - dc App

[익명(118.235)]

네 긴 페이지라 읽기 귀찮으실 것 같은데 봐주셔서 감사합니다.