[대학교이상] 이것에 대하여 설명해주실수 있는분?

[ddddd(218.54)]

Ternary cubic forms having bounded invariants, and the existence of a positive proportion of elliptic curves having rank 0

[익명(73.189)]

배경지식: Elliptic curve over Q에 대해 정수론적으로 여러가지를 생각해볼수 있는데, 가장 대표적으로 analytic rank랑 algebraic rank가 있음. analytic rank: elliptic curve를 정의하는 식이 각 소수 p에 대해 mod p로 해가 몇개 있는지를 세어서 그걸 다 모아 어떤 복소함수를 만들음

[익명(73.189)]

그걸 L-function이라고 부름. 리만제타함수의 일반화된 개념이 L-function임. analytic rank는 이 복소함수가 z=1에서 몇차의 zero를 가지느냐임. algebraic rank: Mordell-Weil 정리에 의해 elliptic curve의 유리수 해들이 이루는 군은 finitely generated임

[익명(73.189)]

이 finitely generated 아벨군의 free part의 rank를 algebraic rank라고 함. Birch-Swinnerton-Dyer 추측은 모든 elliptic curve에 대해 algebraic rank=analytic rank라는 추측임. 정수론의 큰 부분이 이 추측의 일부를 해결하기 위함임

[익명(73.189)]

정수론 하는 사람들이 계산하다 보니 이런 추측들을 예측하게 됨. 경험에서 나온 다른 추측들로는 대부분의 elliptic curve의 rank가 0 아니면 1이다 (rank가 2 이상인 예제는 엄청 드물어서) 라던가, 한발 더 나아가 평균적으로 반은 rank 0, 반은 rank 1이다 란게 있음

[익명(73.189)]

이 논문은 평균적으로 elliptic curve가 rank 0일 확률이 0보다 크다를 보인 첫 논문임. 그러니까 의미가 큼. 이를 어떻게 보이느냐? Mordell-Weil 군은 계산하기가 엄청 까다로움. 그래서 보통은 그거랑 가까운 Selmer group이란걸 계산함.

[익명(73.189)]

Mordell-Weil group은 유리수 해를 계산하지만, Selmer group은 각 소수 p에 대해 p진수 해를 계산함. 마치 어떤 식의 해가 있는지를 구할 때 유리수해를 구하는거보다 mod p 해를 구하는게 훨씬 쉽듯이, Selmer group은 훨씬 접근이 용이함

[익명(73.189)]

유리수해를 계산하는게 왜 어렵냐면 페르마의 마지막 정리만 생각해봐도 어떤 식의 유리수해를 계산하는거임. 무튼 유리수해가 있냐 없냐, 있다면 몇개가 있냐를 아는건 엄청엄청 어려운 문제임. 무튼 Selmer group의 rank를 Selmer rank라고 하자

[익명(73.189)]

Selmer rank는 아쉽게도 algebraic rank랑 언제나 같은건 아님. 왜냐면 각 소수에 대해서 mod p로 풀수 있다고 해서 유리수해가 있는 건 아니기 때문임. 이게 안되는걸 우리는 local-global principle이 성립하지 않는다고 함. elliptic curve는 일반적으로 이게 안됨

[익명(73.189)]

이 차이를 수학적으로 정의할 수 있는데 이게 바로 Tate-Shafarevich group임. 그니까 Selmer group은 Mordell-Weil group + Tate-Shafarevich group이라고 보면 됨. Birch-Swinnerton-Dyer 추측의 일환으로 Tate-Shafarevich group은 항상 유한하다고 수학자들은 추측함.

[익명(73.189)]

그니까 구하기 쉬운 Selmer group이 구하기 어려운 Mordell-Weil group이랑 같진 않아도 그 차이가 유한하다는게 추측임. 어쨌든, 저 논문은 더 구하기 쉬운 Selmer rank의 평균을 구하고, algebraic rank가 Selmer rank 이하다 라는걸 이용해서 타원곡선이 rank 0일 확률이 0보다 크단걸 보임.

[익명(73.189)]

그럼 Selmer rank의 평균은 어떻게 구하느냐. 정확히는 3-Selmer group의 order의 평균을 구함. 3-Selmer group은 그냥 Selmer group중 3배하면 0되는 애들 모아놓은거임. 만약 Mordell-Weil group의 원소 x가 3배하면 trivial해진다고 가정하자.

[익명(73.189)]

그럼 타원곡선 E에 대해 x를 뺀 후 3배하는 사상 E->E를 생각할 수 있지. 이는 마치 시작하는 E의 원점을 0이 아니라 x로 잡은 타원 곡선으로 볼 수 있음. 마찬가지로 3-Selmer group의 원소에 대해서도 이런 "원점 바꾸기"를 시전할 수 있음.

[익명(73.189)]

대신 일반적인 Selmer group의 원소를 갖고 이걸 하면 E->E가 아니라 어떤 다른 식의 곡선 C가 나타나 C->E의 사상을 얻게 됨. 이건 어떻게 생각하면 좋냐면 타원곡선은 복소수 위에서 보면 그냥 complex torus라고 볼 수 있는데, complex torus의 특징은 아무 점이나 원점으로 잡아도 group structure를 줄 수 있음

[익명(73.189)]

유리수 Q 위의 타원곡선은 complex torus + 유리수 좌표를 가진 원점이라고 생각할 수 있음. 원점이 유리수 좌표가 아닌 경우 무언가 뒤틀린 타원곡선을 얻게 됨. 무튼 타원곡선의 친척같은걸 얻음.

[익명(73.189)]

근데 이제 3-Selmer group의 원소로 얻은 C->E의 경우 C가 뒤틀린 정도가 "3배하면 없어지는" 수준이기 때문에, "3배하면 없어진다"라는 식을 만족함. 그래서 C를 3개의 변수로 이뤄진 3차다항식의 해로 나타낼 수 있음. 여기서 이제 ternary cubic form이 나오는거

[익명(174.249)]

이제 타원곡선을 줄세우듯이 ternary cubic form을 순차적으로 줄세워서 얼마나 많은지 갯수를 세면 3-Selmer group의 평균 order를 알게 됨. ternary cubic form을 센다던가 하는건 종류에 따라 케바케지만 보통은 한 cubic form에 대해 선형적으로 변수를 바꿔 더 좋은 형태로 바꾸고 (Reduction theory)

[익명(174.249)]

그 좋은 형태의 것들의 갯수를 셈. 이건 왜 가능하냐면 좋은 형태로 만든다는게 어떤 큰 공간에 어떤 큰 군이 act하는데, 그 공간에 어떤 한 모양을 잘 잡아서 그 모양이 군의 action에 따라 전체를 커버하게 만들 수 있음. 우린 이걸 fundamental domain이라고 함

[익명(174.249)]

그럼 갯수 새는건 fundamental domain의 어떤 부분의 부피를 구하는것과 같은 일이 됨.. fundamental domain의 가장 쉬운 예로 복소평면에 정수x정수 ZxZ가 실수파트랑 허수파트에 더하기로 act한다고 하면, 넓이 1짜리 평행사변형이 fundamental domain임

[익명(174.249)]

이경우 큰 space는 R^10이고 (ternary cubic form의 계수들의 집합) 여기에 변수의 선형변환으로 GL3(Z)가 act함. 이런것의 부피를 구하거나 fundamental domain을 구하는것도 일반적으로 되게 어려운 일인데 잘 해낸것이 기술적으로 중요한 부분이라고 할수있지

[닉머하까(58.124)]

와 미치겠다요.이런건 도대체 대학원과정으로 배울수 있는건가요?실례가 아니된다면 현재 포닥이나 박사후 연구원이신가요?

[익명(220.83)]

개추