[일반] 질문! 이걸로 어케 |<g>| = |g| 라는거랑

[고무졸직(uyau391bq71x)]

|g| 가 G의 약수라는걸 보임?

나약한 직관으론 대충 G의 원소를 H로 묶었으니까 cosets의 개수는 나누기 느낌이 날것같긴한데

[익명(116.36)]

G가 finite면 g의 order은 일단 자연수고(아니면 g의 거듭제곱들이 다 다르게 되고 그러면 finite란 가정에 모순) 그럼 <g>에는 정확하게 g의 order만큼의 원소가 있음 그 다음에는 Lagrange’s theorem 쓰면 |g|=|<g>|가 |G|를 나눈다는 것도 알수있음

[고무졸직(uyau391bq71x)]

아? 라그랑주 정리를 써서 <g>에 g의 order 만큼 원소가 있다는걸 보이는게 아니라 라그랑주 정리는 그냥 나눈다는걸 보이는데만 쓰는거?

[익명(116.36)]

|<g>|=|g|를 보이는거는 g의 order을 n이라 했을때 g^i=g^j 일 필요충분조건이 i≡j (mod n) 라는걸 이용하면 됨 그러면 g^a 꼴의 수(a는 정수) 들 중에서 다른게 정확하게 n개 나옴

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[고무졸직(uyau391bq71x)]

뒤에건 뭐야 그럼?

[유사수학자(lonelymath)]

임의의 G의 subgroup H와 임의의 g_1 , g_2 in G에 대해서 g_1 ~ g_2 iff g_2 = g_1h for some h in H로 relation ~를 정의하면 ~가 equivalence relation이 된다는걸 확인할 수 있고, 그러면 [G : H]는 equivalence class의 개수 |G/~|와 같고, ~의 정의로부터 각 class는 그 class 내의 임의의 원소 g에 대해서 gH = {gh : h in H}로 표현될 수 있으니 각 class에 속한 원소의 개수는 정확히 |H|개. 이 정보를 그냥 식으로 표현한것 뿐임.

[유사수학자(lonelymath)]

|g| = |< g >|인건 |g|의 정의는 g^k = e를 만족하는 최소의 자연수 k. < g >는 임의의 정수 m에 대해서 g^m 꼴의 원소들을 모아놓은 집합인데, 임의의 정수 m에 대해서 나머지 정리에 의해서 m = ck + r인 정수 c와 0 ≤ r < k가 존재하여, g^m = g^{ck} g^r = g^r을 만족하기 때문에, < g >는 {1 , g , g^2 , ... , g^{k-1}}의 부분집합임. 이제 < g >가 정확히 k개의 원소를 갖고있다는걸 보이기 위해서는 1, g, g^2 , ... , g^{k-1}은 서로 다른 원소가 된다는걸 보이면 충분함. 만약 0 ≤ i < j < k에 대해서 g^i = g^j이면 g^{j-i} = e가 되어버리는데 j-i < k이므로 k의 최소성에 모순.

[고무졸직(uyau391bq71x)]

고마우이