위 교과서의 내용을 참고해서 풀어봤습니다.
보통은 선적분이라 하면 어떤 곡선의 tangent vector를 벡터장과 내적하여 (벡터장을 어떤 곡선의 tangent vector에 사영시켜) 그 값을 적분하는 것이라고 알고 있습니다. 이 경우 그 적분값은 일의 정의에 의해 벡터장이 경로를 따라 한 일이 되구요.
하지만 어떤 곡선의 normal vector와 내적하여 선적분을 하게 되면 그것은 그 곡선에서 흐르는 유량(flux)의 양을 구하는 것 같습니다.(아마도…)
따라서 제 질문은
1. 제가 벡터장 F와 어떤 곡선의 normal vector를 내적하는 적분에 대해서 제대로 이해한 것이 맞나요? (이것을 계산하게 된다면 flux가 나오게 되는 것이 맞나요?)
2.직선에서의(혹은 곡선에서의) normal vector는 항상 tangent vector를 -90도 로 회전시킨 것인가요? (항상 tangent vector 방향의 오른쪽 방향인가요?) 90도로 회전시키면 안되나요?
3. 그렇다면 사진에 있는 문제에 대하여 두가지 접근 방법(하나는 정의에 의한 선적분, 다른 하나는 그린정리)를 사용하여 풀었는데 어째서 두 결과 값이 다르게 나오는 것일까요?
바쁘신 와중에 답변해주시는 분들 감사합니다…!
n이 unit normal vector니까 첫번째 풀이에서 n 크기가 1이 되게 해줘야지
아 아니구나 잘못봤네
밑댓대로 r_3에서 적분할때 부호 거꾸로됐음
감사합니다ㅠㅠ 매번 tangent vector에 대해서만 하다보면 normal vector가 반대방향이 되야하는지는 몰랐네요. Tangent vector 로 할때는 매개화를 반대로 했다고 해서 딱히 반대 벡터로 잡아주지는 않았거든요…
곡선을 반대로 하여 계산하였으므로 outward normal vector field도 반대로 해주어야 합니다. 29/2의 부호를 거꾸로 하면 같은 값이 나오네요
와… 그런거군요 정말 감사합니다…!
곡선이 반대면 outward normal vector field 도 반대다…! 알겠습니다. 혹시 이게 왜 이런지 알려면 어떤 걸 찾아보면 될까요 지금 뭔가 outward가 정확히 어느 쪽인지를 감이 안잡히기도 하고 제가 보는 스튜어트 교재에는 해당 내용에 대해 자세히 다루지는 않네요…
제 두번째 질문하고도 나름 연관이 있는데 곡면일때는 normal vector는 뭔가 위로 볼록인쪽일것 같은데 직선일때는 outward normal vector가 항상 오른쪽이다 라고 이해하면 될까요
그린정리는 원래 Pdx+Qdy 형태입니다. 그런데 면적분 결과가 divF 형태로 나오도록 식을 조정해주면 -Qdx+Pdy = Pdy -Qdx 형태가 됩니다. 즉 tangent vector가 (x,y)일 때 (y, -x)로 선적분해주어야 한다는 것입니다.
책에서는 이 때 (y, -x)를 (x, y)에 대한 outward unit normal vector라고 부르는 것 같습니다. 그리고 기하적으로 보았을 때 이는 (x, y)를 반시계 방향으로 90도 회전시킨 변환입니다.
이 때 곡선을 거꾸로 하면 tangent vector는 반대가 됩니다. 그러니까 계산 시에 (-x, -y)로 계산해주어야 한다는 것입니다. 그걸 또 (y, -x) 형태로 만들어주면 ((-y), -(-x)) = -(-y, x)가 됩니다. 즉 outward normal vector도 반대가 됩니다. 계산적인 구조만 보면 이렇습니다.
반시계 방향으로 90도가 아니라 시계 방향으로 90도가 아닌가요? 다른 내용은 이해한 것 같습니다! 감사합니다
네, 시계 방향이 맞습니다.