1. 어떤 임의의 집합 A가 있을 때 Union_{a in A} E_a 이런 것들을 막 갖다 쓰는데 이거 가능한 건가? 라는 의문이 들었음. 어떤 원소가 주어졌을 때 그 원소가 속하는 E_a가 존재하거나 존재하지 않는다는 것을 판정할 수 있다면 그 원소가 Union_{a in A} E_a에 속하는지 알 수 있기 때문에 상관없나? 라는 생각을 함.


2. open set은 R에서 open interval이 가지는 특징을 보존하도록 추상화한 개념이라고 생각해봄. closed set도 마찬가지. 근데 이것만으로는 closed interval이 가지는 모든 특징을 추상화한게 아님. 예를 들어서 R이라는 집합은 R에 대해서 closed한데 유계가 아님(closed interval은 유계). 따라서 boundness의 개념까지 추상화한 compact set을 이용해서 기존에 closed interval이 가지고 있던 특성을 흉내낼 수 있음. 예를 들어, 최대-최소 정리를 compact 개념으로 일반화할 수 있고 축소구간정리를 compact 개념으로 일반화할 수 있고 Heine-Cantor 정리 등등...


사실 open과 closed라는 특성이 내포하고 있는 중요한 의미가 있을 것 같은데 잘 모르겠음. closed는 모든 limit point를 포함하는 거니까 대충 납득이 되는데 open은 왜 중요한 건지 감이 잘 안 잡힘.


3. 다만 open set과 closed set은 inteval이 가지는 연결성을 표현하지 못하는데 이는 connectedness 개념으로 추상화 가능함. 연속함수에 대해 connectedness가 보존되는데 이는 연속함수에 대해 closed interval이 보존되는 것(최대-최소 정리)에 대응됨. 그리고 R에서 connected set이랑 interval이 동일하다는 것을 보일 수 있음.


4. 그리고 compactness 정의할 때 closed cover 말고 open cover를 이용하는 이유는 closed cover를 이용해서 정의하면 compact set이 open이 돼서 closed interval의 성질을 보존할 수 없어서임.


5. compactness는 또한 finiteness라는 특성을 가짐. compact set의 모든 infinite subset이 limit point를 가진다는 점이 이 특성을 잘 보여줌. 이 성질은 전술한 축소구간정리를 compact 개념으로 일반화할 수 있는 근본적인 이유인데 이는 compact 집합의 완비성을 의미함(축소구간정리가 완비성과 관련이 있으니까).


6. 모든 compact set은 유계 아님? pma에 관련 내용이 없는데 인터넷에 치면 나옴(https://math.stackexchange.com/questions/872636/how-to-finish-this-proof-about-compact-implies-bounded-by-the-open-cover-definit-mathstack / https://www2.math.upenn.edu/~kazdan/508F14/Notes/compactness.pdf-upenn). Thm 4.15가 f가 compact metric space X에서 R^k로의 continuous mapping이면 f(X)가 closed하고 bounded하다는 내용인데 모든 compact set이 bounded하면 정리에서 R^k 부분이 필요없어지지 않음?


7. Thm 3.54가 리만 재배열 내용인데 이를 R^k까지 확장한 Levy-Steinitz 정리가 있음. Levy가 19살 때 이걸 발표했다더라 ㄷㄷ


8. Thm 4.20이 E가 R의 noncompact set이면 (a) 유계가 아닌 E에서의 연속함수가 존재하고 (b) 최댓값을 가지지 않는 E에서의 연속이고 유계인 함수가 존재한다. E가 bounded하다는 조건이 추가로 붙으면 (c) 균등연속이 아닌 E에서의 연속함수가 존재한다. 이 내용인데 이를 대우를 가지고 생각해보면 다음을 얻을 수 있음.


E가 R의 부분집합이라 하자.

(a) E에서 정의된 모든 연속함수가 유계일 필요충분조건은 E는 compact set인 것이다.(6번 참조, 모든 compact set이 bounded라고 생각할 때)

(b) E에서 정의된 모든 유계인 연속함수의 최댓값이 존재하면 E는 compact set이다.

(c) E가 유계라고 하자. E에서 정의된 모든 연속함수가 균등연속일 필요충분조건은 E가 compact set인 것이다.

(a), (b)는 유계성 정리, 최대-최소 정리에서 compactness의 필요성을 잘 보여준다고 생각함. 근데 (c)에서는 E가 유계라는 E에 대한 추가적인 조건이 필요하니까 Heine-Cantor 정리가 compact보다 더 일반적인 조건에서 성립될 수 있음을 암시한다고 생각해도 되겠음?


9. open의 경우 X(=subset of Y)에 대해서 open이냐, Y에 대해서 open이냐에 따라 참, 거짓 여부가 결정되잖아. 반면 compact의 경우 X에서 compact일 필요충분조건이 Y에서도 compact인 거고. 근데 continuity 다룰 때 정의 자체가 정의역의 원소만 따지니까 함수의 정의역만 생각하잖아. 그래서 정의역 E가 subset of metric space X일 때 X는 무시하고 E만 생각하면 되는데 compact의 성질에 의해 E가 X에 대해 compact인지 Y에 대해 compact인지 신경 안 써도 되는 점이 연속함수에서 compact 개념을 편안하게 쓸 수 있게 해 준다고 생각함.


10. Def 4.25에서 lefthand/righthand limit을 (a, b)에서 정의하는 건 그렇다 치고 수열을 가지고 정의하는데 정작 그 밑에 Thm 4.29 증명에서는 엡델을 씀. 수열보다는 엡델을 가지고 정의하는 게 개념상으로 봐도 더 나을 것 같은데 왜 수열을 가지고 정의하는 거임?


11. Def 4.33에서 확장된 실수에 대한 정의가 나오는데 이런 식으로 정의하면 공허참에 의해 정의역의 isolated point에서 모든 극한값을 가질 수 있는거 아님?


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12. 5장에서 미분 정의할 때 closed interval에서 정의하던데 극한 정의할 때 처럼 limit point에서 정의해도 되지 않음? 이렇게 안 하는 이유는 이 정의에서는 기존의 정리들이 성립하지 않기 때문임? 아직 5장 초반부 읽고 있어서 내용 안 보긴 함.


혹시 틀거나 덧붙여 설명하고 싶으신 것 있으면 다 알려주세요.