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피카드 정리가 1계 상미방의 해의 존재성에 관한 정리인데
기하학적으로는 다양체 위에 매끄러운 벡터장이 있으면
모든 점에서 이 벡터장을 접벡터로 갖는 1차원 부분다양체인 적분곡선을
국소적으로는 항상 찾을 수 있다는 것을 보장해주고

프로베니우스 정리는 매끄러운 벡터공간들의 장? 분포?가 있을 때
적분곡선의 고차원 버전인 대응되는(모든 점에서 이 벡터공간을 접공간으로 갖는) 적분다양체를 찾을 수 있는 필요충분조건이라고 이해하면 됨?

그 조건은 벡터공간들의 장의 기저가 되는 벡터장들끼리의 교환자가
0이라 각 벡터장들의 적분곡선들이 좌표계를 구성할 수 있고
기저들의 일차결합으로 생성되는 일반적인 벡터공간의 원소들은 리 대수를 이룬다는 것

그래서 피카드 정리와 마찬가지로 프로베니우스 정리는 1계 편미방들로 이루어진 시스템의 적분 가능성에 대해 말해준다?

용어나 이해가 너무 엉성하고 어설픈데 좀 지적 + 보충 설명 좀 해줄 수 있을까
접다발 같은 걸 공부하면 좀 정확하게 말할 수 있을 것 같은데 아직 자세히 모름

책은 Wald의 General Relativity