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해당 문제를 풀다가 생긴 궁금증인데…

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여기서 첫번째 질문입니다.  Domain D 에 대하여 이중적분을 하는 것인데 카타시안이나 폴라 좌표계로 했을때는 
절단면을 차곡차곡 쌓아서 계산하는 느낌이 있었는데 phi를 0부터 pi까지, theta를 0부터 pi 까지 적분하라고 하니 이게 정녕 D영역에 대해서 적분을 하는 것인지 의문이 듭니다.
Polar Coordinates에서는 적어도 r이 0부터 1까지 적분되면서 D를 전부 커버하는 것 처럼 보이는데 Spherical Coordinates에서는 저렇게 표기해도 되나요…?


두번째로는 제가 빨간색 부분으로 적은 부분은 어느정도 이제는 이해가 갑니다 r_phi X r_theta 를 하면서 이미 Jacobian이 계산된 거여서 굳이 sin(phi)를 d(phi)d(theta)앞에 안 곱해줘도 되는 것 같습니다. 그런데 그렇다면 저 위의 식에서 dA로 적은 부분이 너무 이상해집니다.
분명히 이중적분을 배우는 단원에서는 저 dA가 직교좌표계에서는 dxdy, Polar Coordinates에서는 rdrd(theta), Spherical에서는 p^2sin(phi)dpd(phi)d(theta) 로 바뀝니다. 즉 Jacobian을 dA라는 미분형식에 포함시킨다는 것입니다. 
그런데 이곳에서는 갑자기 dA가 곧장 d(phi)d(theta)가 됩니다. 마치 직교좌표계에서 처럼요… 그렇다면 dA라는 형태로 쓰는것이 틀리거나, 제가 dA라는 미분형식 자체에 대한 이해가 부족한 것 같습니다. 혹시 이것을 설명해주실수 있겠습니까?

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그리고 세번째로는 답지에서는 곡면(여기서는 구)의 normal vector를 구할 때 저처럼 r_(phi) X r_(theta)를 한 것이 아닌 그 반대의 외적 r_(theta) X r_(phi)를 수행하여 -가 한번 더 붙게 구했습니다. 결과적으로 답이 pi가 되었구요. 저 역시 선적분으로 구해낸 값이 pi임을 사진에서처럼 확인하였습니다. 하지면 여전히 면적분을 할때 왜 제가 한 외적이 아닌 반대방향으로 외적을 수행하여야 하는지, 그리고 왜 그것만이 답이 되는지 생각하기가 어렵습니다.

도움을 주신다면 감사하겠습니다…! 


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이 사진은 제 질문 내용에 들어있는 내용인데, 참고하시라고 올려드립니다.