얼마 전에 프로베니우스 정리 질문했던 물리충 게이다
어떤 고닉이 추천해준대로 Szekeres 책 잘 보고 있다 고맙다
근데 이번엔 임베딩 섭매니폴드 정의가 책마다 좀 다른 것 같아서 정리가 안 된다 좀만 도와주라ㅜ
일단 Szekeres에서는 이렇게 정의함
immersion:
smooth map f: M -> N의 tangent map이 injective일 때 f는 immersion임. immersion 자체는 injectjve가 아니기 때문에 self-intersection이 있을 수 있고 따라서 얘는 submnfd의 좋은 정의는 아님.
embedding:
immersion이 injective일 때 embedding이라고 함. 얘는 submnfd가 됨.
regular embedding:
embedding f: M -> N을 생각하는데 image f(M)이랑 M이 diffeo가 되는 f(M)의 topology가 다른 topology가 아니고 N의 subset topology일 때 얘를 regular embedding이라고 함. 동치인 조건은 f가 closed map인 것.
그리고 예시로 정사각형 말아서 만든 torus 위에 곡선 감는 거 나오는데
torus를 단위 정사각형으로 생각하고 그 위에서 직선의 기울기가
유리수인 경우 무리수인 경우 나눠서
유리수인 경우는 torus 위로 갔을 때 image가 closed니까
이 경우 regular embedding이고 무리수인 경우는 아니다
또 무리수인 경우 torus의 subset topology를 생각하는 경우와 원래 직선 R의 topology를 생각하는 경우가 상황이 다르다
이런 얘기들 해줌
위키(submanifold)에서는 이렇게 정의함
immersion:
마찬가지로 tangent map이 injective한 smooth map f: M -> N.
injective immersion에 대해서 M과 f(M)이 diffeo가 되는 경우
f(M)을 immersed submnfd로 정의함.
이때 이렇게 되는 f(M)의 topology는 일반적으로 N의 subset topology가 아님.
embedding:
injective immersion 정의에서 M과 f(M)이 diffeo가 되는
f(M)의 topology가 N의 subset topology인 경우.
이때 f(M)을 embedded(혹은 regular) submnfd로 정의함.
M이 compact라면 injective immersion = embedding임.
closed embedded submnfd:
embedding map이 closed일 때(iff proper(compact set의 역상이 compact)일 때) f(M)을 closed embedded submnfd라고 함.
얘가 submnfd 정의들 중에 제일 nice한 정의임.
지금 보면 책이랑 위키랑 좀 다름
책에서는 embedding은 그냥 injective immersion이고
embedding이 topology도 호환이 잘 돼서
(subset topology를 생각할 때 diffeo가 돼서)
진짜 embedding이 되는 경우를 regular embedding이라고 부르고
이러기 위한 필요충분이 map이 closed인 거라고 설명하고 있음
근데 위키에선 embedding 자체에
subset topology에 대해 diffeo라는 의미가 이미 들어있고
그거랑 별개로 map이 closed인 경우(동등하게 proper인 경우)가
무슨 이유에선지는 모르겠지만 제일 좋은 경우라서 이 경우 따로
closed embedded submnfd라고 부르고 있음
여기서 내가 궁금한 건 둘 중에 뭐가 더 적합하고 정확한 정의이며 위키가 맞는 경우 closed라서 특별히 더 갖게 되는 이점이 뭐임?
어떤 고닉이 추천해준대로 Szekeres 책 잘 보고 있다 고맙다
근데 이번엔 임베딩 섭매니폴드 정의가 책마다 좀 다른 것 같아서 정리가 안 된다 좀만 도와주라ㅜ
일단 Szekeres에서는 이렇게 정의함
immersion:
smooth map f: M -> N의 tangent map이 injective일 때 f는 immersion임. immersion 자체는 injectjve가 아니기 때문에 self-intersection이 있을 수 있고 따라서 얘는 submnfd의 좋은 정의는 아님.
embedding:
immersion이 injective일 때 embedding이라고 함. 얘는 submnfd가 됨.
regular embedding:
embedding f: M -> N을 생각하는데 image f(M)이랑 M이 diffeo가 되는 f(M)의 topology가 다른 topology가 아니고 N의 subset topology일 때 얘를 regular embedding이라고 함. 동치인 조건은 f가 closed map인 것.
그리고 예시로 정사각형 말아서 만든 torus 위에 곡선 감는 거 나오는데
torus를 단위 정사각형으로 생각하고 그 위에서 직선의 기울기가
유리수인 경우 무리수인 경우 나눠서
유리수인 경우는 torus 위로 갔을 때 image가 closed니까
이 경우 regular embedding이고 무리수인 경우는 아니다
또 무리수인 경우 torus의 subset topology를 생각하는 경우와 원래 직선 R의 topology를 생각하는 경우가 상황이 다르다
이런 얘기들 해줌
위키(submanifold)에서는 이렇게 정의함
immersion:
마찬가지로 tangent map이 injective한 smooth map f: M -> N.
injective immersion에 대해서 M과 f(M)이 diffeo가 되는 경우
f(M)을 immersed submnfd로 정의함.
이때 이렇게 되는 f(M)의 topology는 일반적으로 N의 subset topology가 아님.
embedding:
injective immersion 정의에서 M과 f(M)이 diffeo가 되는
f(M)의 topology가 N의 subset topology인 경우.
이때 f(M)을 embedded(혹은 regular) submnfd로 정의함.
M이 compact라면 injective immersion = embedding임.
closed embedded submnfd:
embedding map이 closed일 때(iff proper(compact set의 역상이 compact)일 때) f(M)을 closed embedded submnfd라고 함.
얘가 submnfd 정의들 중에 제일 nice한 정의임.
지금 보면 책이랑 위키랑 좀 다름
책에서는 embedding은 그냥 injective immersion이고
embedding이 topology도 호환이 잘 돼서
(subset topology를 생각할 때 diffeo가 돼서)
진짜 embedding이 되는 경우를 regular embedding이라고 부르고
이러기 위한 필요충분이 map이 closed인 거라고 설명하고 있음
근데 위키에선 embedding 자체에
subset topology에 대해 diffeo라는 의미가 이미 들어있고
그거랑 별개로 map이 closed인 경우(동등하게 proper인 경우)가
무슨 이유에선지는 모르겠지만 제일 좋은 경우라서 이 경우 따로
closed embedded submnfd라고 부르고 있음
여기서 내가 궁금한 건 둘 중에 뭐가 더 적합하고 정확한 정의이며 위키가 맞는 경우 closed라서 특별히 더 갖게 되는 이점이 뭐임?
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오 그렇구나 고맙다!