[중고딩문제] 배수 판별 관련 문제 좀 도와주십셔...

[익명(223.39)]

(m+1)/n , (n-1)/4 , (3m+1)/4 이 세 수가 모두 양의 정수가 되게 하는 정수n,m(2<n<20, 1<m<20)에 대하여 m+n의 최댓값을 구해야 하는 문제였는데,

나는 걍 (n-1)/4를 보고 n을 기준으로 17, 13, 9....쭉 내려가다 보니깐 n=9, m=17이라는 답을 얻었어. 혹시 이렇게 무지성 대입 말고 식으로 풀 수 있는 방법이 없을까?

- dc official App

[익명(211.234)]

제일 처음을 기준으로 m+1=n일 때, m+1=2n일 때... 이런 식으로 해보셈

[익명(223.39)]

m+1=kn 일때 k 가 커지면 커질수록 m+n도 작아지므로 k가 최소일때 최댓값이 나옴. k=2일때 주어진 식을 처음으로 만족하는 m,n이 나오고 그 중 가장 큰 m,n이 17,9라는게 식 세우니깐 바로 보이네 - dc App

[익명(223.39)]

고맙다 - dc App

[능금농장(pqstr173)]

세번째 식에서 m=4k+1(4m-(m-1)=3m+1에서 m-1이 4의배수), 두번째 식에서 n=4l+1 다시 첫번째에 대입하면 (4k+2)/(4l+1)임. 근데 4k+2=2(2k+1)이고 4l+1은 홀수니까 2k+1이 4l+1의 배수. 2k+1=(4l+1)*j k=2l,6l+1,10l+2…인데k<5니까 k=2l m=8l+1,m+n=12l+2 가능한 l은 1,2 m+n최대는 12*2+2=26

[능금농장(pqstr173)]

이런거요??

[익명(223.39)]

첫번째 식 먼가 이상한데... 등호 잘못 넣은거 아니야?? - dc App

[익명(223.39)]

아 머야 괄호 안에걸 곱하기로 봣음 ㅋㅋㅋㅋ - dc App

[익명(39.7)]

문제없음 니가직접나눠보면됨

[익명(203.226)]

자연수 k가 k = (m+1)/n를 만족한다고 가정함. 이걸 변형하면 n + m = (k+1)n - 1 ... (가) 임을 알 수 있음. 다른 두 조건으로부터 n =4a + 1, m = 4b + 1을 만족하는 자연수 a와 b가 있음을 알 수 있음. 이제 이걸 (가)에 대입하면, 4(a+b) + 2 = (k+1)(4a + 1) - 1

[익명(203.226)]

따라서 4b = 4ka + (k-2) ... (나) 를 유도함. 좌변은 4의 배수이므로 우변도 4의 배수임. 그래서 k = 4q + 2로 나타낼 수 있는 자연수임. (단, q는 정수.) 그러면 k = 2, 6, 10, ... 이렇게 될 거임. ((1)) k = 2일 때: (나)에 의해 b = 2a임을 알 수 있음.

[익명(203.226)]

그러면 (n, m) = (4a + 1, 8a + 1) = (5, 9), (9, 17)임. 이때 최댓값은 9 + 17 = 26이란 걸 알 수 있음. ((2)) k = 6일 때: (나)에 의해 b = 6a + 1임을 알 수 있음. 그러면 (n, m) = (4a + 1, 24a + 5)인데, 이러면 m은 문제의 범위에서 벗어남. ((3)) 앞과 비슷함. (생략)

[익명(203.226)]

그래서 n + m의 최댓값은 26임. 나는 이렇게 풀었는데 더 좋은 풀이도 나올 수 있을 것 같음.

[익명(104.28)]

n = 4a + 1, m = 4b - 3 (a ≤ 4, b ≤ 5 ∈ N), (4b-2)/(4a+1) = 2c, (c ∈ N) 4b - 2 ≤ 18, 4a + 1 ≥ 5, ∴ 2c ≤ 3, c = 1. ∴ b = 2a + 1 ≤ 5, a ≤ 2 n + m = 4(a + b) - 2 = 12a + 2 ≤ 26