9번 문제랑 답인데,
b번이 이해가 안갑니다.
이해가 안가는 부분은
(i) 번
답에서는 "n차 정수계수의 다항식은 n개의 정수들의 정렬된 리스트와 동일하다." 라는 건데,
이 문장 자체는 대충은 이해가 가요.
사실은 "n차 정수계수의 다항식은 n+1개의 정수들의 정렬된 리스트와 동일하다." 여야 할거 같은데
이건 그렇다 치고
근데, b번 문제에서 An은 "차수가 n인 정수 계수 다항식의 근으로 주어지는 대수적 수의 모임" 이고,
문제에서 힌트로 모든 다항식은 근이 유한개 라는 사실을 이용하라고 했는데
그러면, Z^n개의 다항식들에서 각각의 경우마다 다항식의 근의 모임들이 있을텐데
그 근의 모임들 전체와 Z^n이 1대1 대응이라는 걸 어떻게 "n차 정수계수의 다항식은 n개의 정수들의 정렬된 리스트와 동일하다." 라는 것으로
퉁칠 수 있는지 이해가 잘 안갑니다.
즉, n차 정수계수의 다항식(Z^(n+1)개의 다항식이 가능) 마다 근의 모임이 있어서 어떤건 1개, 어떤건 4개, 어떤건 5개... 이런 식으로 있을 것인데
1대1 대응을 어떻게 시키죠?
그리고,
(ii) 는 그렇다 치고
(iii) 도 이해가 잘 안갑니다.
대충 감으로는 (a1, a2, ... , an)=K 로 해서, a1+a2+...+an=K=1을 만족하는 (a1, a2, ... , an)의 모임을 따로 구분하고,
K=2일때를 따로, K=3일 때를 따로 구분해서 내림차순 정렬하는 걸 얘기하는거 같은데
맞나요?
최고차항의 계수가 1인경우만 생각해도 되서 그럼 n개의 리스트랑 같다는거는 너가 저기서 정수계수 다항식들을 나열할수있는데 거기서 각각의 다항식마다 근들을 나열하면 모든근도 나열이 됨 그니까 countable이되는거임
근데 그 다항식마다 근들을 나열할 때, 다항식은 하나인데 근은 여러개일 수 있잖아요? 그 근들은 유한개니까 그냥 나열할 수 있고, 따라서 셀 수 있다는 말씀인가요?
Zn+1이여도 무방. 대수적 수면 해당 다항식은 근이 1개 이상이므로 기수가 |N| 이상, n개 이하이므로 |N^n|이하. 따라서 기수 N과 같음
(1) 의 경우에, 각각의 다항식이 Z^(n+1) 과 대응될것이고, 각 다항식은 n개의 해를 가질테니, n={0,1,2,....,n-1} 이라고 하면 << A_n ~ (Z^(n+1) × n) >> 이겠지? (n이라는 집합에 별 의미는 없음 걍 원소 개수가 n개라는게 중요함)
A_n ~ (Z^(n+1) × n)
근데 어차피 Z, Z^2, Z^3, .... 다 셀 수 있는 집합이잖음? Z^(n+1) 에 Z한번 더 곱해서 Z^(n+2) 도 셀 수 있을거아님
Z^(n+2) 도 셀 수 있는데 고작 Z^(n+1) 에 유한집합 하나쯤 곱한다고 셀 수 없는 집합이 되겠음? 그런 직관(믿음) 을 가지고 증명을 만들어봐. 실제로 Z->(Z^(n+1) × n) 인 전단사 함수를 만들어보면 됨 ㅇㅇ
이런 전단사함수를 직접 구성할 수 있으면 나머지 문제는 결국 똑같은 행동의 반복임
근데 어차피 Z, Z^2, Z^3, .... 다 셀 수 있는 집합이잖음?->Z^3를 예로 들면 (Z1, Z2, Z3)에서 Z1, Z2를 고정하고 Z3을 쭉~~ 나열하고, 그 다음에 Z1만 고정하고, Z2를 쭉~~ 나열하고, 그 다음에 Z1을 쭉~~ 나열하는 식인가요?n차 다항식은 무조건 n개의 해를 가지나요? 안그러는 경우도 있지 않나요?이게 생각해보니, 하나씩 나열한다고 하면 이해가 되는거 같은데, 1대1 대응을 해보려 하니 잘 안되네요;;지금 떠오르는 방식은 같은 책에서 자연수를 2차 평명 상에서 다음과 같이 나열했던걸 이용해서1 3 6 10 15 ...2 5 9 14 ...4 8 13 ....Z 도 이런식으로 나열하고 각 줄이 무한개니까 각줄을 다시 Z에 대응시켜서
이걸 n+1번째의 줄까지로 대응하고, 이 n+1째의 줄 까지 대응시킨걸 다시 n번 반복하면 될거 같긴 한데..