I:[0,1]->2^N인 전단사함수 I가 존재한다. (2^N은 자연수 전체집합의 멱집합) 의 증명

[0,1)에 속하는 임의의 실수 a에 대하여
a=sum n=1 to inf a_n/10^n 가 성립하는

n>=k일때 A_n=9를 만족하는 자연수k가 존재하지 않는
수열 A_n:N->{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}
가 유일하게 존재한다.


이때
a=0.a1a2a3...라 쓰고,(0<=a<1)
f:[0,1]->[0,1]
f(a)=0.00010010001..
(0을 a1개쓴후1을쓰고,0을a2개쓴후 1을 쓰고..),f(1)=0인
함수 f는 단사함수이므로

f의 치역을 F라 두었을 때
f(x)=g(x)인
g:[0,1]->F 는 전단사함수이다.


h:F->2^N
h(a)={n l a_n=1}라 두면
h는 전단사 함수이므로
I:[0,1]->2^N인 전단사함수 I가 존재한다.



f(0.00320000..)=0.11000100111111...로 대응 하는식
9가 "연속적으로"무한히나오는걸  제외한이유는
f(0.1000..)=0.0111111..
f(0.09999..)=0.1000000000100.. 모순 방지
"연속적으로"만 아니먼 무한히나와도 유일하게 존재.

f(0.9090909..)=0.000000000110000000..



0을 1로
1을 01로
2를 001로
.
.
9를 0000000001로 대응하면 유일한 것 같아서
이렇게 하면 증명 오류없는지 궁금함

9를 연속적으로무한히표기하는대신 다르게 표기할수있으므로 [0,1)사이 실수를 전부그리 유일하게표현가능하니 이렇게해도될까요


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