[일반] 리만 제타함수의 해석적 연속 질문

[ruinaa(27.35)]

유튜브에서 리만가설 설명보고 의문이 생겼는데

리만 제타 함수의 정의역은 s가 1보다 커야하잖아요

근데 이걸 해석적연속으로 모든 복소수 범위로 확장시킨다면

무한급수꼴로는 계산할 수 없는 경우가 생기는데

그 경우에는 해를 어떻게 구하나요

[익명(223.39)]

그 해를 다 못 구하니까 난제로 남아있는 거 아녀?? - dc App

[ruinaa(27.35)]

예를들어 제타(-2)= 1/12 라고하는데 이렇게 나온 근거가 있을거 아녜요, 난제는 영점을 구하는거지만, 모든 복소수 정의역에서의 값을 어떻게 계산하는지 이게 궁금하다 이거죠

[lp(yyi050324)]

그냥 해석적인 함수 하나를 기묘하게 정의했더니 Re(s)>1인부분에서 원래 제타함수랑 잘 맞는거니까 궁금하면 그 함수를 찾아보면 될듯

[익명(119.67)]

특정한 복소수 값들에서는 제타함수의 값을 딱 떨어지게 계산하는 방법이 있는데, 모든 복소수에서 그런 방법이 있는 게 아니라서 영점을 일일이 구하지 못함. 물론 뭔가 식이 있긴 해서 근사적으로 계산할 수는 있는데, 그 값이 0인지 아닌지 판별하는 건 또 다른 문제임.

[익명(119.67)]

애초에 함수가 무한급수로 써진다고 해서 정확히 값을 구할 수 있는 것도 아님. 물론 무한급수 항을 하나씩 더해보면 그 근사값은 구할 수 있겠지만, 정확한 값을 알 수 있는 건 아님. 가령 1000항까지 더해보니 급수가 0으로 수렴할 것처럼 보였는데, 사실 다 더하면 10^{-100000} 정도의 값으로 수렴하는 거였다면? 컴퓨터로 계산한다 쳐도 유한 개의 합만 알 수 있지 다 더하는 건 불가능하고, 컴퓨터 계산 오차도 있어서 이 둘을 컴퓨터로 구별할 수는 없음.

[익명(211.48)]

리만제타함수는 해석적연속으로 ‘정의’한 함수인 걸로 알고 있음. 예를들면 0! 은 왜 하필 1로 정의했을까? 같은식으로. y=((x-1)^{2})/(x-1) 은 x=1에서 정의할 수 없지만, 자연스럽게 f(1)=0이라고 정의해서 확장할 수 있잖아. 리만 제타 함수도 수렴하는 정의역에서 자연스럽게 확장한걸로 알고 있음.

[익명(174.249)]

functional equation이란게 있어서 사실 zeta(s)를 알면 zeta(1-s)를 알 수 있고, 그래서 Re(s)>1/2에 대한걸 알면 Re(s)<1/2에 대한 걸 아는데, Re(s)=1/2위에 있으면 functional equation으로 얻는 정보가 없어서 그래 zeta(-1)=-1/12는 zeta(2)=pi^2/6을 갖고 얻는거임

[익명(174.249)]

물론 divergent series를 더해서 가령 1+2+...=-1/12를 직접 보이는 방법이 있긴 한데, 그런 방법들은 다 되긴 하는데 왜 되는지 모르기 때문에 왜 zeta(-1)=-1/12냐에 대한 답이 되지는 못함. 사실 divergent series를 더하는 중요한 방법 중 하나가 바로 제타함수 같은걸 만들어 해석적연속으로 정의하는 방법임

[익명(174.249)]

리만제타 함수가 간접적으로 정의된다는 점 자체가 리만 제타함수를 흥미롭게 하는 부분임. 가령 Re(s)=1에서 s=1제외 0이 아니다라는 복소함수적인 간단한 성질이 정수론의 어려운 정리인 prime number theorem이랑 거의 동치임