무한히 미분가능한 함수 f(x)에 대하여
f(x)의 x=a에서의 n차 테일러 근사를
F(a,n,x):=sum k=0 to n (1/k! f^(k)(a))(x-a)^k
라고 정의합시다.

이때 n>m이면
(a-t,a+t)에 속하는 임의의 x값에 대해
l F(a,n,x)-f(a) l<=l F(a,m,x)-f(a) l가 성립하는 실수 t가 반드시 존재하나요?

즉 다시말해 다항식으로근사시킬때 최고차항을 항상 추가시키면 반드시 예외없이 더욱 이전보다정확해지냐는 질문입니다. n->inf면 완전히동일한데 이걸토대로는
n>=N인 자연수 N이 존재해 N이상이면 다 비슷해진다는 논의는되지만 n=1,2,3,..모든자연수에대해
키울수록정확해진다는 고려해야할것같아서요

또하나 궁금한 점으로는 (이거도 근사의 정확성관련입니다)
임의의 양수 epsilon이 주어졌을 때
(a-t,a+t)에 속하는 모든실수 x에 대해
l F(a,n,x)-f(a) l <epsilon
를 만족시키는양의 실수 t의 최댓값을 T(n,e)라 하겠습니다.
n>m이면 T(n,e)<T(m,e) 입니까? 즉 차수를 더쓰며 근사를 더하면, 더할수록 반 드 시
원하는 오차까지 만들수있는"구간"의 크기도 줄어드냐?

입니다.