선 요약: 인터넷에 가끔가면 몽고메리랑 다이슨이랑 Institute 티타임에서 나눈 얘기로 “정수론이랑 우주의 신비랑 사실 같은것이다” 라는 소리 하는 글을 본 적이 있을 수 있음. 그게 바로 리만제타의 비자명해의 허수부에 관한 이야기임


  1. 무슨 뜻임?
해석적 정수론은 정수론의 작은 스케일에선 불규칙한 것들을 통계적으로 연구하는 학문임. 가장 쉬운 예로는 소수정리 (Prime number theorem)으로 큰 수 X에 대해 X 이하의 소수의 개수가 대충 몇개 있다~ 이런 류의 정리임.

Montgomery랑 Dyson이 말한 것은 두 개의 완전히 다른 수학 분야에서 발견된 것들의 pair correlation function이 같다는 것임. 어떤 숫자들의 모음이 있을 때, density는 X 이하인 것들의 갯수에 관한 것이고, pair correlation은 X 이하 이면서 차이가 Y이하인 pair의 갯수에 관한 것임. 그러니까 두 완전히 다른 종류의 숫자의 모음들이 있는데, 둘의 pair correlation이 같다는 뜻임

두 모음 중 하나는 눈치 챘겠지만 리만 제타 함수의 비자명해의 허수부의 모음임. 그리고 다른 하나는 바로 random Hermitian matrices의 eigenvalue들의 모음임.  이게 바로 무슨 우주의 신비니 원자 궤도니 어쩌구에 관한거라고 말하는 건데, 사실 random Hermitian matrices라는 것 자체는 그냥 수학의 한 부분임. 이런 수학이 양자역학에서 필요하기 때문에 개발된 것은 맞지만, 수학 자체는 그냥 수학일 뿐임. 

단순히 말해서 모든 Hermitian matrices들을 생각해서 각각에 가중치를 주고 (measure), 각 Hermitian matrice당 eigenvalue들을 뽑아서 그것들의 pair correlation을 생각했을 때, Hermitian matrix의 사이즈가 커지면 똑같은 pair correlation function을 가진다는 것임.

  1. 왜 성립함?
아직 아무도 모른다.. 그래서 이걸 이해하면 리만 가설을 해결하는 데 한 걸음 더 다가갈 수 있지 않을까 생각하는 거임. 물론 계산을 열심히 해서 사람들이 증거를 많이 찾아놨음. 또한 그냥 계산적 증거를 넘어선 증거들이 있음. 이를 위해선 function field-number field dictionary에 대해 이야기 해야함

리만 제타 함수는 사실 유리수 체 Q에 대한 제타 함수이고, 너가 상상할 수 있는 체마다 제타 함수를 만들어 낼 수 있음. Q(i)라던가.. 그럼 리만 제타 함수 처럼 모든 제타함수들은 그 체의 소수들을 갖고 어떤 무한 곱으로 표현할 수 있음. 근데 유리수 체랑 굉장히 비슷하게 행동하는 녀석이 있는데 바로 F_p(t)라는 function field임. 여기서 F_p는 order p 유한체이고 F_p(t)는 계수가 F_p안에 있는 유리함수들의 체임. 이 녀석에게도 제타 함수를 붙일 수 있고, 이 녀석들의 소수들을 가지고 제타 함수를 무한 곱으로 나타낼 수 있음.

여기서 function field-number field dictionary란, 유리수 체 같은 것에서 성립하는 모든 것들이 function field에 대해서도 성립한다는 것임. 가령 F_p(t)의 제타함수에 대해서도 리만 가설이 있음. 그리고 function field는 number field보다 그런 문제들을 풀기가 더 쉬운 편임. 예를들어 F_p(t)의 리만 가설은 이미 몇십년전에 Deligne에 의해 풀렸음. 보통 function field의 경우 대수기하의 도움을 더 많이 받을 수 있기 때문에 이런 문제들을 풀기에 용이함. function field 위에서는 리만 가설도 이미 풀렸고 (Deligne), twin prime conjecture도 풀렸고 (Sawin-Shusterman), 등등 많은 것들이 풀려있음. 그래서 사람들은 뭔가 정수론의 난제가 있으면 function field 위에서 먼저 한 번 풀어보려는 경향이 있음. 그러면 풀기도 더 쉽거니와 거기서 한 번 풀어보면 원래 난제를 어떻게 접근해야 하는지 좀 더 잘 알게 될 수도 있으니까. 

이 Montgomery-Dyson pair correlation conjecture도 function field 위에서 비슷한 conjecture가 있는데 이걸 우리는 보통 싸잡아서 Katz-Sarnak philosophy라고 함. 위와 마찬가지로 Katz-Sarnak philosophy는 많은 부분이 증명되어 있음. 현재는 이를 통해 원래의 Montgomery-Dyson conjecture도 참이라고 역으로 유추할 수밖에는 없는 상태임.