많은 사람들이 바꾸는 편이 2/3 확률을 가진다고 말하고
시뮬레이션 결과로도 그렇게 나왔죠.
하지만 저는 그럼에도 어느 문을 고르든 1/2라 생각합니다.
이런 제가 미련해보일 수 있다는 건 잘 알아요.
실제로도 미련하다고 생각합니다.
그저 이런 생각이 들어서 말합니다.
몬티홀 문제에서 '문을 바꿨을 때 자동차를 얻는 확률'을 어떤 시뮬레이션으로 구합니까?
자동차=O
염소=X
사용자가 1번, 2번, 3번 문 중에서 3번 문을 고른다고 일반적으로 잡죠.
그럼
OXX
XOX
XXO
이것들이 똑같은 횟수로 나타날 겁니다.
OXX 100번
XOX 100번
XXO 100번
사회자가 고르는 문에 대해 '를 붙입시다.
그러면 시뮬레이션에서는
OX'X 100번
X'OX 100번
X'XO 50번
XX'O 50번
이렇게 나타나겠죠.
사회자가 1번 문을 고른다고 일반적으로 잡으면
X'OX 100번
X'XO 50번
이렇게 되어서
원래 문을 유지했을 때 자동차(O)를 얻을 확률은
50/(100+50)=1/3이 되겠죠.
보통 시뮬레이션은 이렇게 돌아갑니다.
하지만
실제로 참가자가 3번 문을 고르고
사회자가 1번 문의 염소를 보여준 상황을 생각합시다.
그때 '원래 문을 유지했을 때 자동차를 얻을 확률'을 계산하려고
시뮬레이션을 돌린다면
'사회자가 1번 문을 고른다'는 조건은 무조건 맞도록 한 채
여러 번의 시행을 하여
그중 '원래 문을 골라 자동차를 얻는 사건'의 수를 따져야 합니다.
하지만 보통의 시뮬레이션에선?
X'OX 100번
X'XO 50번
XX'O 50번<---이놈도 시뮬레이션에 고려하죠.
시뮬레이션으로 확률을 계산할 때 설정하는 '반복조건'.
저는 이 '반복조건'이 잘못되었다고 생각합니다.
X'??
이것을 '반복조건'으로 삼아야 한다고 생각해요.
그러면 200번 실행했을 때
X'OX 100번
X'XO 100번
나타나서
원래 문을 유지했을 때 자동차를 얻을 확률이 1/2이 된다고 생각합니다.
지맘대로 문제를 바꿔놓고 원래 문제의 답이 잘못되었다고 하고있네
사회자가 1번 문의 염소를 보이는 경우 중 2번 문에 자동차가 있을 때가 3번 문에 자동차가 있을 때보다 2배 가량 많긴 하죠. 근데 1번 문의 염소가 보여진 바로 그 상황에서 어떤 문에 자동차가 있을까? 고민할 때는 사회자가 1번 문을 고르는 경우만 만들어야 하는 거 아닌가 싶어서요.
직관적으로 이해하고 싶은데 그게 잘 안 돼서 힘듭니다...
사회자가 1번문을 열었을때 어디에 자동차가 많을지를 아무도 물어본적도 없는데 왜 혼자 그게 몬티홀 문제라고 얘기하는건데? 사회자가 1번문을 여는 사건이 사용자가 고른 문과 독립이 아니라는게 몬티홀 문제의 본질이고 전부인데 그건 알면서 하지만 그렇지 않은 경우를 생각하면 답이 다르다고 하면 당연히 드르겠지 씨발 그 문제가 아니니까
독립적이지 않도록 사회자의 선택이 벌어진다는 거군요.
시뮬레이션이 각 케이스 별로 몇 번씩 일어나는지 상품배치, 사용자선택, 사회자선택 별로 착착 진행하면 그렇게 되네요. 근데 선택에 직면한 사람 입장에서 사회자가 다른 문을 열었을 경우를 생각할 필요성이 있는지가 헷갈렸습니다.
좀 더 생각해서 오겠습니다.
상품을 맞추려고 하는 사람과, 사회자 사이에는 정보의 불균형이 있음. 사회자는 자동차의 위치를 알고 있다는 것임. 그 덕분에 사회자는 자동차를 열어서 보여주지 않을 수 있는거임.
1/3 또는 2/3 이라는, 어찌보면 '불합리해 보이는' 값은 이 정보의 불균형때문에 오는거임
참가자가 처음에 당첨을 골랐으면(1/3), 바꿨을 때 무조건 꽝임. 참가자가 처음에 꽝을 골랐으면(2/3), 바꿨을 때 무조건 당첨임.
물론 게임참가자가 무슨 선택을 하든 무조건 사회자가 꽝을 열어서 보여준다는 가정이 있어야함. 만약 '당첨을 골랐을 때 만' 두번째 기회를 준다면(악마몬티), 바꾸면 무조건 꽝일거고, '꽝을 골랐을 때 만' 두번째 기회를 준다면(천사몬티) 바꿨을 때 무조건 당첨일거임.