f(x)가 x=g(a)에서 미분가능하고
g(x)가 x=a에서 미분가능하면
f(g(x))는 x=a에서 미분가능하며
f(g(x))의 x=a에서의 미분계수는 f'(g(a))g'(a)이다

증명

다음과 같이 두가지 Case로 나눈다.

1.어떤양수 d가 존재하여
(a-d,a+d)에속하는 a를 제외한 모든실수 x에 대하여
g(x)가 g(a)가 아닌 값을 갖는 경우

이 경우는 문제없이 lim x->a (f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a)*(g(x)-g(a))/(x-a) 라 쓸 수 있고, 이는 f'(g(a))g'(a)이다

2.그러한 양수 d가 존재하지 않는 경우
g가 미분가능하므로
lim x->a (g(x)-g(a))/(x-a)가 존재해야한다.
g(x)=a가 될때 저 극한속의 식은 0의 값을 갖는다.

g(x)=g(a)가 되는 x들만을 취하면서
x를 a에 한없이 가까이 가게 해도
"g의 미분가능에의해 극한이 존재함이 보장되므로"
극한값은 그와 같을 것이다.

따라서 g'(a)=0이 성립한다.

이제 lim x->a (f(g(x))-f(g(a)))/(x-a) 를 살펴보자.

f(g(x))-f(g(a)))/(x-a) 는 (g(x)=g(a)일때 0이고

그 외의 경우 f(g(x))-f(g(a)))/(g(x)-g(a)*(g(x)-g(a))/(x-a)
이다.

g(x)=g(a)인 x들만을 취하며 x를 a에 한없이 가까이하면
극한식의 값은 0이고

그게 아닌 x들만을 취하며 x를 a에 한없이 가까이하면
극한식의 값은 f'(g(a))g'(a) 이다.

그런데 2번경우에 g'(a)=0이므로 극한이 존재하고,
2번경우에도
f'(g(a))g'(a)라 써줕수있고
1번경우에도 f'(g(a))g'(a)라 써줄수있고
1,2번 경우는 전체경우를 대변한다.
따라서
f(x)가 x=g(a)에서 미분가능하고
g(x)가 x=a에서 미분가능하면
f(g(x))는 x=a에서 미분가능하고
그 미분계수는 f'(g(a))g'(a) 이다.


이리해도됨?
엡델을 안배워서그런데
이 증명을 엡델로 고대로 해주면 엄밀하게되는거임?
아니면 엡델로 서술해도부족해??

lim x->a f(x) = L이라고 극한의존재성이보장되면
x가 a에 어떤방식으로가까워지든 다 L로 같아야된다를 이용함

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