선형근사를 배우는 모티베이션에 있어서 좀 궁금한게 있는데
f(x)의 x=a에서의 접선
L(x)와 f(x)는 x값이 a에 가깝다면 가까우므로 근사로좋다 그래서배운다로 퉁치는데
이건 굳이 선형근사가아니라
그냥 g(a)=f(a)인 임의의 x=a에서 연속인 g에 대해서도 g(x)와 f(x)는 x가 a에 충분히가까우면 가깝다할수있지않나요?lim x->a (g(x)-f(x))=0이니까.
단순히 선형근사가 가까울수록 가깝다만의의미라면 의미가별없어보이는데 추가적의미가 더 있어서 배우는거일거잖아요? 그추가적의미가뭔지궁금합니다
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'선형'근사
선형인 게 제일 단순하고 간단하잖아 f(x)와 가까운 다른 g(x)에 비헤서. 일변수만 생각하면 잘 감 안 올수도 았는데 이변수함수에 대해서도 똑같이 접평면의 방정식이 존재하고 곡면의 한 점에서의 접평면으로 선형근사할 수 있고 그 이상의 고차원에 대해서도 마찬가지임 그런 접공간 안에서는 선형대수를 써먹을 수 있음
선형이어도 굳이접선이아닌 f(a)지나는 임의의 직선이라도 가까울수록 가깝다의정의는 만족해서 왜 접선으로근사하는게 더좋은지에대핰 모티베이션이없다느꼇어요 - dc App
물리학으로 치면 모든 상호작용이나 퍼텐셜은 극소점 부근에서는 kx^2 꼴의 조화진동으로 근사 가능한 것도 선형 근사의 결과고 그 외에 중첩의 원리나 옴의 법칙이나 이상기체상태 방정식이나 여튼 변수들끼리 비례하거나 선형 관계인 식들 대부분은 이상적인 상황에 대한 선형 근사고 실제 자연은 거기서 고차항이 더 들어가는 지저분한 식으로 기술됨
사실 미분이라는 연산의 정의 자체가 주어진 함수의 선형근사 함수 찾는 거임 미분계수라는 말은 그 선형함수의 계수를 의미하고
네 말도 맞음. 필요에 따라 적당한 g를 (특정 근방에서) f로 근사해서 써먹어도 ㄱㅊ 근데 선형근사, 평균값정리, 테일러전개, 접공간, 경계, 이후에 어떤 공간의 근방을 유클리드 공간으로 근사하는 것 등등 어느정도는 연결되어 있어서 선형근사를 써먹기 좋음. 제일 간단하면서 직관적이기도 하고
추가로알아봣는데 f와 선형함수 L은 lim x->a (f-L)/(x-a)=0도만족해야한다고나오네요 이건 "더빨리가까워진다"의 의미를 담는다봐도되나요? - dc App
아님. 가까워지는 속도를 의미하는 것이 아니라, ‘a 근방에서만, L과 f를 구별할 수 없다’ 라는 의미임. a근방을 벗어나면 유의마한 차이가 발생하여 구별할 수 있다는 거임
f(x)=x² 에 g(x)=x라 놓는다해도 lim x->0 f-g =0이라 0근방에서 f g 는 구분안된다할수잇잖아. lim x->0 (f-g)/x#0이어도. lim x->0 (f-g)/x =0의의미는그럼뭐임? 가까워지는속도도아니면 - dc App
나는 y=x보다, y=x-x^{3}/3!이 더 빨리 가까워질거 라는 의미였음. 선형근사보다 더 근사적인 것도 있으니까. y=x는 f(x)=sinx와 0근처로 가면 갈수록 더 빨리 가까워지는 것은 맞지만 주기함수나, 변곡점이 있는 경우, 특별한 구간에서 ‘가까워지는 것이’ 규칙을 찾기 어려운 경우도 있음. 그런 의미에사 가까워지는 것이 아니라고 한거임
그게 f와 g의 선형 근사 결과가 같다, f와 g는 x의 1차에 대해서는 같다는 표현인 거지 미분은 주어진 함수에 대해 그 함수와 가장 가까운 x에 대한 1차의 함수를 찾는 연산이고 그게 정확히 선형 근사지
매끄러운 함수 f - g는 일반적으로 x에 대한 멱급수로 전개될 거 아님? 그럼 (f - g)/x의 x를 0으로 보내는 극한을 계산하면 f - g의 멱급수에서 x² 이상의 항들은 그냥 0이 되는 거고 x¹항의 계수만 남을텐데 이게 0이라는 의미니까 f랑 g의 미분 계수가 같다는 의미가 되는 거지
그러니까 특정 상황에서는 써먹어도 되는데, 선형근사를 논하려면, 어떤 함수 f,와 어떤 정의역의 고정된 점x=a 2가지 정보가 필요함. 마치 2변수 함수 F(f,a)같은 느낌으로, f(x)=sinx와 y=x는 x=0에서의 선형근사는 맞지만, x=pi에서의 선형근사는 아님.
ㄴ ㅇㅇ 미분은 결국 함수나 도형의 국소적인 성질을 보는 거니까
"아주가까운" "유일한" 선형함수가되는데 아주가까운이 어떤뜻이냐면
적당한 근방에서 정의역의 변수값의 차이의 크기보다 원함수와 선형근사함수의 차이가 압도적으로 작다는뜻임. 곧, [{f(a+h)-f(a)}-(Df(a))(h)]/||h|| -> 0 (as h->0) 이란뜻임
난 h->0일때 ||h||가 0가는것보다 원함수와 선형근사함수의 차이가 훨씬빠르게 0으로간다 라고 생각해도 좋다고 봄..
1학년 미적분학에서는 선형근사(1차근사) 에서 끝난다기보단 2차근사, 3차근사... 로 이어지는 밑밥을 깔아두는게 아닐까
테일러급수가 그런식으로 근사하는거라고 볼수도 있으니까
어차피 '선형적이다' 라는 말이 별로 안 와닿을 시기니까