[대학교이상] (해석학) 10^(-n) < r 증명 어떻게함?

[익명(119.202)]

어떤 양수 r에 대해서도

10^(-n) < r 인 정수 n이 존재한다.

이거 증명을 어떻게 함?

아르키메데스 원리로는 안되는거같은데

n이 지수에 오니까 뭘 써야할지 모르겠음..

루딘 chapter 2 내용으로는 못하는거임? 도움좀

[익명(116.36)]

?

[익명(14.37)]

귀류법

[익명(118.235)]

귀납법이든 뭘 쓰든 n>0일때 10^n>n 증명하면 1/10^n<1/n 이니까 n->infinity일 때 1/10^n->0 (샌드위치 정리) 따라서 임의의 r>0에 대해 1/10^n<r인 n존재

[5둥리카일렝낮쨩무츠미(lillollool)]

수학적커납법 잘 갈겨도 되고. 아니면, 아래로유계 단조감소니까 단조수렴정리에의해 L로 수렴함. 점화식 a_(n+1)=(a_n)/10의 양변을 리미트보내면 L=L/10이므로 L=0. 이제 수렴의정의 쓰면 원하는게 나옴

[5둥리카일렝낮쨩무츠미(lillollool)]

커납법은 적당한 C찾아서 모든 n>N에대해 10^(-n)<C/n인 N 존재하는거보이는식으로 ㄱㄱ

[익명(110.76)]

그냥 아르키메데스 써도 될것 같아요. 더글라스에서 k^n 넣는거 자주 봄 - dc App

[익명(175.215)]

직관적으론 너무 당연해보임. 양수r을 10진법 무한소수로 표현했을 때 그 보다 더 작은 0.00...1이 존재할 테니까. 0<1<r 이면 자명하고, 0<r<1이면 0<1<1/r에서 아르케메데스원리에 의해1/r<n(<10^n)이 존재할테니 0<1/(10^n)<1/n<r 이 존재하겠지