[대학교이상] G=<a>, a의 위수는 20일때 G의 부분군들의 생성원 구하기

[익명(203.228)]

부분군들은 라그랑주정리에 의해서 위수가 각각 1,2,4,5,10,20인 부분군들인데

이 부분군들의 생성원을 각각 어떻게 구하나요?ㅠㅠ

[익명(106.101)]

위수가 n인 cyclic group은 Z_n이랑 동형이니까 gcd(n,20)=k일때 <a^n>의 위수는 20/k임.

[익명(106.101)]

다시말해 gcd가 저렇게 나오는 애들만 모으면 그게 곧 모든 생성원임

[익명(203.228)]

그러면 위수가 1인 g의 부분군에 대해서, 즉 {e}의 생성원을 구한다는건, 생성원의 정의를 그대로 적용하면 <a>의 원소 중 하나가 존재해서, 즉 e에 대해서 </a><a>=</a><a>가 되게 하는 생성원은 e=1 밖에 없잖아요?</a>

[익명(203.228)]

gcd(n,20)=k일때 <a>의 위수는 20/k 이다 이거는 배워서 알고있는데 생성원 구할때 왜 쓰이는거에요?</a>

[병맛아이(ysorry258995)]

순환군 정의가 G:군일때 G의 원소에 대해서 =G 가 되는 g가 존재하면 G를 순환군이라고 하며 그때 원소 g를 생성원이라고 하잖아요?

[병맛아이(ysorry258995)]

< g >

[병맛아이(ysorry258995)]

정의에 의하면, 부분군 < e >가 곧 순환군이 되고 그렇게 되게 만드는 < e >의 원소는 자명하게 e밖에 존재하지 않고 따라서 생성원은 1 밖에 없는거죠?

[병맛아이(ysorry258995)]

위수가 2인 부분군에 대해서 생성원을 생각해본다면, 그런 부분군을 K라고 했을때 K={e,a^10} 이겠고, K가 순환군이 되게 하는 k∈K를 구하면 e는 자명하고, a^10을 생각하면 {a^10, e}={e,a^10}=K 이므로 e와 a^10 모두 생성원이 됩니다

[병맛아이(ysorry258995)]

제가 쓴것중에 틀린 내용 있나요??

[익명(106.101)]

ㅇ 맞음

[병맛아이(ysorry258995)]

와... 감사합니다!

[병맛아이(ysorry258995)]

아니 근데 그러면 부분군 6개의 각 원소마다 순환군이 되는지를 다 확인해주면서 생성원을 다 찾아야하나요?

[병맛아이(ysorry258995)]

생각해보니까 위수 2일때 e는 생성원이 안되는거 아닌가요? < 1 >={1}=/{e,a^10} 라서 1은 생성원이 안되는데...

[병맛아이(ysorry258995)]

하... 모르겟네요 그냥ㅠㅠㅠㅠ

[익명(175.215)]

아날로그 시계를 보고(혹은 위수만큼 원형으로그리고) 연습해봐. 1칸씩 건너 뛰었을 때, 2칸씩 건너뛰었을 때,... n칸씩 건너뛰었을 때 어떤일이 벌어지는지 생각해보는게 좋음. 자신으로 돌아올 수도 있고, 아닐 수도 있음. 돌아온다면 부분군이고, 아니면 그게 생성원임. 부분군에서는 특이하게 처음군의 위수의 약수일 때만 성립할거고,...

[익명(175.215)]

이런식으로 사고실험 결과랑, 일반화된 공식이랑 비교하다보면 어느정도 감 잡을거임. 순환군(cyclic group) 중에서 유한군은 다 이런 형태임.