[대학교이상] 대체 이 문제 뭔지 모르겠어요 (현대)

[병맛아이(ysorry258995)]

Z_20이랑 <a>, |a|=20랑 부분군&생성원 차이가 뭐에요? 너무 헷갈리네요...

[익명(59.11)]

둘 다 cyclic group이라 isomorphic함

[ScARfaCE(kayuaao)]

둘이 isomorphic니까 그냥 집합적으로는 다르단게 끝이지?

[익명(211.234)]

동형인데 additive냐 multiplicative냐 차이로 생성원 생김새는 좀 다르겠지

[병맛아이(ysorry258995)]

진짜 개어렵네요... 솔루션도 없어서 맞게 구한건지 알수도 없고

[ScARfaCE(kayuaao)]

이런 문제들은 구글에다 subgroups of Z_20 이렇게 치면 각 subgrp들의 generator가 뭔지 또 order는 뭔지 다 나옴

[ScARfaCE(kayuaao)]

Z_20상에서 order가 10인 subgroup을 구해보면 20/2 에서 2=gcd(20,k)인 k는 2니까 <2>겠지 또 문제에서 주어진 G 상에서의 order가 10인 subgroup을 구해보면 < a^2 > 로 나옴

[병맛아이(ysorry258995)]

엇 근데 gcd(20,k)=2인 k는 2말고도 6 12 14 18 까지 있으니까 위수가 10인 부분군은 여러개가 나올수있는거네요?

[병맛아이(ysorry258995)]

정정..;.. 12는 안되구여

[병맛아이(ysorry258995)]

근데 답은 6개만 되있는거 보면 부분군 개수를 따질땐 같은건 다 하나로 봐서 그런거네요?? 그래서 20의 약수 1 2 4 5 10 20 를 위수로 가지는 부분군 6개가 답이 되겠군용

[ScARfaCE(kayuaao)]

ㅇㅇ 내가 설명에서 빼먹은게 있는데 (s,n)=(t,n) iff (a^s)=(a^t)이니까 6,14,18이면 그냥 걔들을 하나로 취급해야해서 그럼

[ScARfaCE(kayuaao)]

그래서 너가 말했듯 부분군의 갯수는 6개가 되겠지

[익명(175.215)]

Z_{20} 정수군일경우 연산을 생략하기도함. 이럴경우 <Z_{20},+>을 의미하고 이는 <{0,1,2,...19},+>을 의미함. G=<a> 일반적으로 연산을 생략했을 경우 곱셈연산을 의미함. 무한군일 경우 <a>={...,a^{-2}, a^{-1}, e, a, a^{2},...}을 의미하고 유한군일 경우 ㅣGㅣ=n,ㅣ<a>ㅣ=n, ㅣaㅣ=n등을 추가로

[익명(175.215)]

이 경우 G=<a>={e, a, a^{2},...a^{n-1} }을 의미함. 유한군에서 군의 위수는, 군의 원소의 갯수를 의미함. 유한군에서 원소의 위수는, 원소를 거듭연산하여 항등원이 나오는 횟수를 의미하고 이는 그 원소를 생성원르로 하는 순환군(cyclic group)의 위수와 동일함. 하나의 군에는 생성원이 1개 이상일 수도 있음

[익명(175.215)]

1개의 원소로 생성이 아닌 2개 이상의 원소를 가지는 집합으로 생성하는 것은 정의가 좀 다름. 순환군 단원에서는 안나오지만, 이 경우 순환군일 수도 있고, 아닐수도 있으며 심지어, 비가환군일 수도 있음.

[병맛아이(ysorry258995)]

유한군에서 원소의 위수는, 원소를 거듭연산하여 항등원이 나오는 횟수를 의미하고 이는 그 원소를 생성원르로 하는 순환군(cyclic group)의 위수와 동일함. 이 말인 즉 |< a >|=|a| 라는 성질을 뜻하네용?