[대학교이상] 현대 질문 좀...

[병맛아이(ysorry258995)]

https://math.stackexchange.com/questions/2544627/infinite-group-has-infinitely-many-subgroups-namely-cyclic-subgroups

무한군의 부분군은 반드시 무한개 존재한다는건데

이걸 대우로 풀더라고?

근데 이해안되는 부분이 다음과 같어

1. 군 g가 유한개의 부분군을 가지면 g는 유한개의 순환부분군을 가진다? (뭐 주어진게 없는데 갑자기 순환부분군을 가진다?)

2. 무한순환군은 (정수집합같은) 무한개의 부분군을 가진다(이건 이해) 근데 따라서 모든 g의 순환부분군은 유한군이다? 왜?

이 두가지를 해결해주시면 감사하겠습니다...

[qww(71.255)]

1. 부분군이 유한개인데 순환부분군이 무한개일순 없잖아? 순환부분군도 부분군인데 2. G의 순환부분군중 무한순환군이 있다고 하면 걔의 부분군로만 무한개의 부분군을 만들어낼 수 있으므로 가정에 모순 (부분군의 부분군은 부분군)

[병맛아이(ysorry258995)]

2번은 진짜 개지리게 이해했어 감사 근데 1번은 개수의 유무한성에 의문이 있는게 아니라 "순환"부분군이 있다는게 이해가 안가.. 유한개의 부분군 모두 순환부분군이 아닐 가능성이 있지 않아?

[엔듈(zzzdhfz)]

군에 순환부분군이 존재 안할수가 없음. 임의의 원소 a에 대해 <a>가 순환군이라</a>

[익명(175.215)]

위에 댓분이 설명 잘 해주셨네요. 추가로 군 G의 원소 a에 대하여 a를 포함하는 G의 부분군은 항상 존재합니다. a in <a> sub G, 즉, 임의의 군은 순환군을 부분군으로 가질 수 있습니다. 우리는 대우를 증명하고자 하니까. G가 유한개의 부분군을 가질 때는 G는 유한군임을 보이면 충분합니다.

[익명(175.215)]

G가 유한개의 부분군을 가지므로 G의 순환부분군의 갯수 역시 유한개일 것입니다. 이 때, 분류를 할 수 있는데요, 그 중 1개의 순환군이 무한순환군일경우, 끝없이 많은 부분 순환군이 존재합니다. ...<a^2^n>... <a^4> sub <a^2> sub <a> 이는 모순이므로 G의 유한개의 순환군은 모두 유한군일 것입니다.

[병맛아이(ysorry258995)]

군 g의 원소 하나 고르면 그 원소의 power들과 역원들을 포함하는 집합 {.... a^-2, a^-1, ,e, a^1, a^2,....} 즉 순환부분군 형태를 얼마든지 그냥 만들면 되기때문에 항상 존재한다는건가요?

[익명(175.215)]

a를 포함하는 부분군이 존재한다면, a와a를 연산한 것역시 닫혀있을 것이므로 성립합니다.

[병맛아이(ysorry258995)]

고마워용