Z_20의 각 부분군에 대해서 생성원을 구하라
만약에 위수가 4인 부분군 < 5 >, < 15 >를 가져온다고 했을때
의문점은 다음과 같아요
1. 저 문제에서 부분군 < 5 >에 대한 생성원 < 15 >의 생성원 다 구해야되는건가요?
2. 만약에 < 5 >의 생성원을 구한다고 하면 그 과정은
일단 쉽게 구할수있는 생성원인 < 5 >의 원소 0,1,2,3,4 중 1을 생각했을때
1과 서로소가 되는 (말이 좀 그렇긴한데) < 5 >의 원소는 다 생성원이 되는거죠?
그렇다면 1,2,3,4,5(=0)이 다 생성원이겠네요?
실제로 모든 원소를 < 5 >상에서 cycle 돌리면 다 결국 =< 5 >가 되더라구요
제가 생각하는게 맞나요?
3. 위수가 20인 경우에는 그 부분군이 < 1 >,< 3 >,< 7 >, .... < 19 >까지 해서 엄청 많은데
의문점 1이랑 비슷한 의문인데, Z_20의 부분군들이 결국엔 < 0 >부터해서 < 19 >까지 쭉 다 잇는데 이 20개의 부분군의 생성원을 싹다 구해야된다는건가요?
문제가 좀 이상하지 않나요?
그리고 위수 1인 부분군은 < 20 > 즉 < e >인데 얘의 생성원은 어떻게 구해야되나요? < e >={a^n|n은 정수} 라고 하면 이걸 만족하는 a는 결국 < e >의 원소일텐데 e를 cycle 해봣자 그냥 {0} 인데 그러면 0이 < e >의 생성원이 되는거네요?
1. 제 책에는 모두 구하는 문제가 대부분이었어요 (어차피 하나만 구하는 건 나중에 많이 하게 됨) 2. 예 3. 관찰을 해보면 Z_n의 부분군은 n의 약수 개수만큼 있습니다. 그리고 gcd(n,m)=d이면 < m >은 Z_n의 위수 n/d인 순환부분군이 됩니다. 즉, 위수 20인 경우는 20의 약수가 1, 2, 4, 5, 10, 20이 있으므로 gcd(20,m)=d (d=1,2,4,5,10,20) 를 만족시키는 m을 찾으면 그 m은 위수 n/d인 Z_20의 순환부분군 < m >의 생성원이 됩니다
위수 1인 부분군은 20=e가 생성원 맞습니다
감사합니다~
어... 뭔가 뭔가임. Z_n의 부분군이 적당한 Z_m과 동형이긴한데 그게 부분군은 아님. 우선 <5>={0,1,2,3,4}가 아니라 <5>={0,5,10,15}임 <15>={0,15,30=10,25=5}임. Z_n에서 n보다 작은 자연수k 중에서 gcd(n,k)=1인 k에 대해 <k>를 생각해보면 다시 자신으로(0으로) 돌아오지 않고 한바퀴 돌거임
그러니까 부분군만 생각하면 n의 약수k를 찾아서 <k1>,<k2>,... 들이 전부임. <1>=<19>=<3>=<17>...=Z_20 정수론적으로 생각하더라도, 대수에서 다수는 라그랑주정리 생각하더라도 비슷한 결론을 내릴거임.
군론에서 이부분 개념정리를 잘 해야 다음에 곱셈군(단원군, unit group)Z_n^*할 때도, 잉여군(qutient group) 할 때도, 편할거임.