discrete metric에서 정의에 따라서 두 좌표가 같을때만 0일텐데 그러면 단위원 그린다고 하면
(±1/sqrt2, ±1/sqrt2) 일때만 0이고 나머지 경우는 그냥 usual metric의 단위원과 똑같이 원점이 0이고 반지름이 1으로 그려지는거 맞죠?
그리고 만약에 두 점의 거리를 구하라고 하는 문제에서
discrete metric은 어떻게 생각해야되나요? (x1, y1) (x2, y2) 이 두 점이라고 하면
x1=x2, y1=y2 일때 d=0 인건가요?
discrete metric을 이상하게 해석한거같은데, 단위원 얘기하니까 R2 한정으로 얘기하면 R2의 두 점 A, B에 대해서 discrete metric d: R2×R2 to {0 이상의 실수집합}는 A=B이면 0, A!=B이면 1로 정의됨. 각각의 좌표가 같냐 다르냐가 아니라, 같은 점끼리의 거리는 0이고 다른 점끼리의 거리는 전부 1임
그래서 중심이 P, 반지름이 r인 원(?)을 집합으로 쓰면 {X in R2: d(P, X)=r}이 됨. r이 1보다 작은 양수면, 거리함수 d의 함숫값은 0과 1밖에 불가능하니까 공집합임. r=1이면 P외의 점은 전부 P와의 거리가 1이니까 R2-{P}가 반지름 1인 원이고. r이 1보다 크면 마찬가지로 공집합.
원 말고 open ball로 보면 1보다 작은 양수 r에 대해 반지름이 r인 open ball은 중심과 거리가 0인 점만을 원소로 가지니까, 중심만을 원소로 갖는 한 점으로 이루어진 집합이 open ball이 됨. 그래서 discrete metric으로 유도된 metric space는 한 점 집합들이 전부 open set인거고. 마지막 거리 물어보는건 맞음
와 대박 감사합니다
그런데 구에서는 {p} 만이 open ball이 되는데 왜 R^2인 원에선 똑같이 {p}가 원의 집합이 되지 않는거에요?
원이랑 open ball이랑 비슷한데 다름. open ball은 중심과 거리가 r 미만인 점들 모은거고, 원은 중심과 거리가 r인 애들만 모은거임. 직관적으로 (usual metric에서) open ball이 원처럼 생기긴 했는데 정확히는 원에 의해서 유계인 영역을 가리키는거고, 원 자체는 open ball 입장에선 boundary만을 가리키는거임.
그래서 R2든 R3든 님이 말하고 싶은 대상이 open ball인지, 원(테두리) 또는 구(껍데기)인지 명확히 구별할 필요가 있어보암