[일반] 어느 수의 약수의 개수가 홀수이면 그 수는 항상 제곱수인가요?

[익명(119.75)]

제곱수의 약수의 개수는 항상 홀수이다

라는 명제가 반대도 성립하는지 궁금해요

아니라면, 임의의 숫자가 제곱수인지 어떻게 빠르게 판별할까요?

3.0625가 제곱수인지 저는 직관적으로 파악이 안되기도 하고 방법도 소인수분해밖에 없는 것인지 궁금합니다. 

[익명(211.246)]

필충임 귀류법으로 제곱수가 아니라 하면 제곱근 미만의 약수들의 개수는 제곱근 이상의 약수의 개수와 같으니 약수 수가 짝수로 모순 제곱수인지는 소인수분해나 개평법 쓰면 됨. 어지간하면 제곱수인지 외워짐

[익명(118.235)]

감사합니다

[익명(211.48)]

자연수n을 소인수 분해하여 n=(p1)^(r1) (p2)^(r2)…(pk)^(rk) 라고 생각할 때 (pi들은 서로 다른 소수, rj들은 소수의 거듭제곱) n의 양의 약수의 개수는 (r1+1)(r2+1)…(rk+1)인데 이게 홀수라면, rj들이 모두 짝수여야 하고 그러면 n은 제곱수임.

[익명(211.48)]

역으로 자연수 n이 제곱수 이면 n={(p1)^(r1)…(pk)^(rk)}^(2)형태로 나타낼 수 있고 양의 약수의 개수는 (2r1+1)(2r2+1)…(2rk+1) 이므로, 양의 약수의 개수는 홀수임