[중고딩문제] 수2 질문이요

[익명(121.181)]

이문제 답이 2개보다 많이 나오나요? 많이 나온다면 왜 그런 답이 나오나요?

- dc official App

[익명(14.37)]

f(x)와 g(x)를 근으로 갖는 t에 대한 이차방정식 t²-(x³+x)t+x⁴=0을 생각해보면.. 나옴. - dc App

[익명(121.181)]

그러면 두 함수 f와 g는 x^3이거나 x라서 순서쌍은 2개가 맞는건가요? 선생님이 답이 2개가 아니라고 하셔서요 - dc App

[익명(14.37)]

f와 g는 연속함수다란조건에끼워맞춰야할듯 f가 값을 번갈아가며취할가능성이잇음 - dc App

[익명(14.37)]

예를들어 f(x)²=1을 모든실수 x에대해만족시키면 f(x)=1이거니 -1이다 라할수없지. f(0)=1인데 f(1)=-1이고 이래번갈아취할수잇음. 근데 f g가 연속함수랫으니 이연속조건을안깨면서번갈아취해게해주는경우를다찾아주명됨 - dc App

[익명(121.181)]

아 이해했어요 감사합니다 - dc App

[익명(14.37)]

다만 f와 g는 한쪽이 다른함수를 취햇으면 다른한쪽은 반대를 취해야함 즉 [0,1]에서 f가 x^3을 취햇으면, g도 x^3을 취할순없고 g는 [0,1]에서 x임이 확정되고.이런식

[익명(14.37)]

왜냐면 이차방정식의 서로다른 두근이기때문에.

[익명(14.37)]

이 말을 잘생각해보면 결국 f를 정해주기만 하면 g는 자동으로정해지니 f,g의 순서쌍이란것이 결국 가능한 f의 개수가됨

[익명(14.37)]

(-무한대,-1)에서 x^3과 x중 하나 고르기 2가지 [-1,0]에서 x^3과 x중 하나 고르기 2가지 [0,1]에서 x^3과 x중 하나 고르기 2가지 (1,무한대)에서 x^3과 x중 하나 고르기 2가지 2*2*2*2=16가지

[익명(223.39)]

오오 저도 16개 나왔어요 감사합니다 - dc App

[익명(118.235)]

근데, f랑 g가 x³, x 둘 중에 하나란 유일성은 어떻게 보여줌?

[익명(14.37)]

어떤 x값에대해 그 둘중 하나가아니면 그 x값에대해 이차방정식의근이아니게됨 - dc App

[익명(110.70)]

내가 예전에 이런 류 문제를 풀었을 때 다음 함수 f(x)에 관한 조건 1) 모든 실수 x에 대하여 [ (f(x) - x)(f(x) - x^3) = 0 ] 2) 모든 실수 x에 대하여 [ f(x) = x or f(x) = x^3 ] 3) [ 모든 실수 x에 대하여 f(x) = x ] or [ 모든 실수 x에 대하여 f(x) = x^3]

[익명(110.70)]

이 모두 필요충분조건인줄 알고 문제를 풀었던 적이 있음 좀 구체적으로는, 1)에서 2)를 얻고 따라서 3)을 얻어 f(x)는 일차함수와 삼차함수 둘 뿐이라고 생각했던적이 있었음

[익명(110.70)]

1),2)는 필요충분조건이 맞지만 1)(또는 2))와 3)은... 절대 절대 필요충분조건이 아니지.. 굳이 따지자면 3)은 1),2)보다 매우 강력한 조건임. 어쨋든 1),2)가 의미하는 바는 '각 x마다 함숫값 f(x)를 택할 수 있는 2가지(물론 x=x^3 인 0,1,-1에서는 1가지)'라는 것으로 미치도록 많은 함수가 나오게 됨을 확인할 수 있음.