<첫 번째 질문 [해결] >
주어진 구간들을 다음과같이 나누는 시행을 생각하자.
0회 시행
[0,1]
1회 시행
[0,1/2] , [1/2,1]
2회 시행
[0,1/4],[1/4,1/2],[1/2,3/4],[3/4,1]
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구간구간들을 전부 반으로 나누는 시행을 하여
n회 시행 하면 2^n개의 구간들이 나올 것이다.
n회 시행했을때 나오는 구간들의 양 끝점인 실수만을 모두
원소로 갖는 집합을 X_n이라 정의하자.
이때 [0,1] 사이의 임의의 유리수 t에 대해
t∈X_n인 자연수 n이 존재하는가?
<두 번째 질문>
닫힌구간 [a,b]에서 정의된 함수 f(x)가
f(a)<f(b)를 만족 할 때,
f(a)<t<f(b)인 임의의 실수 t에 대하여
f(x)=t를 만족하는 실수 x∈(a,b)가 존재하면
이 함수를 "중간값성질을 갖는 함수"라 정의하자.
닫힌구간 [a,b]에서 정의된 함수 f(x)가
f(a)<f(b)를 만족하고
닫힌구간 [a,b]의
임의의 부분구간 [p,q] (a<=p<q<=b) 에 대해
f(x)=(f(p)+f(q))/2 를 만족하는 실수 x∈[p,q]가 존재하면
f(x)는 "중간값성질을 갖는 함수" 인가?
궁금햐여 질문드립니다
- dc official App
첫번째껀 0,1 빼면 전부 분모 짝수만 있으니까 2/3같이 분모 홀수인거 가져오면 Xn에 안들어가지 않음? (양 끝점 an,bn이 분모가 짝수일때, (an+bn)/2도 분모 짝수)
아 1번은 좀 바보같은 질문이었네요.. 해결했습니다 결국 1/2^n 등분 되는거라 집합 X_n={0/2^n,1/2^n,...(2^n-1)/2^n,2^n/2^n}이네요 - dc App
2번은 아예 f(x+y)=f(x)+f(y)를 만족하면서 함숫값이 유리수밖에 없는 함수 f를 만들 수 있어서 거짓임
2번은 [0,1] 사이의 Q의 적절한 부분집합을 가산무한개의 dense subset의 disjoint union 으로 쓸 수 있고, 이 집합들을A(0,1),A(1,1),A(1,2),A(1,3),A(2,3),A(1,4),A(3,4),... 순으로 유리수 전체에 대해 번호를 매기고, A(m,n) 의 함수값을 m/n으로 주고, 그 밖에는 모두 0으로 주면
이 함수는 조건을 만족하지만(유리수 p,q에 대해, (p+q)/2도 유리수이고, 이 값을 함수값으로 갖는 원소가 임의의 구간에 존재) 유리수값만 포함하므로 중간값성질을 갖지 않음. 따라서 거짓
[0,1]사이의 유리수의 부분집합을 dense subset으로 나누는건 n번째 소수 pn에 대해서 {m/pn^k |k 자연수, 0<m/pn^k<1, pn은 m을 나누지 않음} 생각하면 될듯. 0은 2^k 집합에 포함시키고 1은 3^k집합에 포함시키고 순서 배치를 2k집합을 A(0,1), 3^k집합을 A(1,1) 로 하면 f(0)=0<f(1)=1도 만족.
*첫번째 댓글에서 유리수 전체에 대해 번호를 매기고->0,1 사이 유리수 전체에 대해 번호를 매기고