실수상에서 어떤 a에서 해석적라는것은
a에서 테일러 급수 꼴로 표현 가능함, 즉 무한번 미분 가능하다고 정의하고
복소수 상에서는 z에서 해석적임을 z에서 미분가능할뿐만 아니라 z의 neighborhood에서도 미분가능하다고 정의하는데
그렇다면 복소수상에서 해석적임을 볼때 실수상의 해석적의 정의는 관련이 없는건가요?
그러니까 복소수상에서 어떤점에서 해석적임을 판단하려는데 실수상의 정의인 무한번 미분 가능함을 체크할 필요가 있나요?
a에서 테일러 급수 꼴로 표현 가능함, 즉 무한번 미분 가능하다고 정의하고
복소수 상에서는 z에서 해석적임을 z에서 미분가능할뿐만 아니라 z의 neighborhood에서도 미분가능하다고 정의하는데
그렇다면 복소수상에서 해석적임을 볼때 실수상의 해석적의 정의는 관련이 없는건가요?
그러니까 복소수상에서 어떤점에서 해석적임을 판단하려는데 실수상의 정의인 무한번 미분 가능함을 체크할 필요가 있나요?
복소수에서는 다 같은 거임
복소함수는 미분가능하면 무조건 무한번 미분가능하고 급수전개더 가진다고 복소함수론 책에 분명히 나와 있을텐데
실수 상에서 무한 번 미분 가능과 해석적(급수 전개 가능)임이 동치 아닙니다. 양수에서 e^(-1/x), 나머지에서 0인 함수 생각해 보세요 복소수 상에서는 미분 가능 iff 무한 번 미분 가능 iff 해석적(급수 전개 가능)입니다. 복소해석학 책을 보세요
감사합니다
원래 해석적이다 라는 단어는 어떤함수가 시그마anx^n형태로 무한급수 형태로 표형가능한 것을 부르는 말이었습니다. 초월함수를, 극한을 사용한 다항함수 처럼 사용했고, 그러한 함수들을 연구하다가 미분적분학과 분리된 ‘해석학’ 학문이 나왔죠. 연속함수의 무한합이 불연속 함수가 되기도 하는 등 당시 연구과제 들이 많았습니다.
복소함수에서는 해석적이다. 한 번 미분가능하다. 무한번 미분가능하다. 정칙이다. 가 다 같은 의미이므로 미분가능한 복소함수라는 말 대신 해석적함수 라고 부릅니다. 복소함수의 경우 해석적일 때, 적분을 통해 함수값을 알기 편하며, 이후 해석적이지 않은 한 점, 나아가 여러점들을 로랑급수전개해서 적분을 하곤 합니다
실함수와 복소함수는 유사한 점이 많지만 다른 점도 많은데요. 그 중 하나가 실함수에서는 한 번 미분가능하다, 무한번 미분 가능하다. 해석적이다. 이 셋은 같은 의미가 아니라는 점입니다. 해석학 초중반에 나오는 분수함수와 삼각함수로 표현되는 함수는 1번 미분가능하지만 2번 미분 불가능한 대표적 함수입니다.
복소함수에서 어떤 함수를 지수함수, 다항함수의 형태로 표현하려고 하는 이유는 적분하기 편해서입니다. 심플커텍티트커브 에서 적분을 하면 함수의 많은 정보를 얻을 수 있죠.
정말 감사해용