11 , 13 , p^5 으로 나누고 mod 11, mod 13, mod p^5 모두 해가 존재하면 되잖아
근대 여기서 mod p^5에서 해가 존재한다는거를 어떻게 보여?
mod p 일 때 해가 존재하는 p 구하고
mod p에서 성립하는 x 찾은 다음에
그 각각의 x마다 hensel lemma 쓰면 mod p^5에서 해가 존재 하는지 알수야 있겠지만.. 시간이...
다른 방법 없을까?
근대 여기서 mod p^5에서 해가 존재한다는거를 어떻게 보여?
mod p 일 때 해가 존재하는 p 구하고
mod p에서 성립하는 x 찾은 다음에
그 각각의 x마다 hensel lemma 쓰면 mod p^5에서 해가 존재 하는지 알수야 있겠지만.. 시간이...
다른 방법 없을까?
식 형태가 완전제곱식 두번 푸는 형태기땜에, x^2=a꼴에 대한 Hensel Lemma를 증명하거나 더 쉽게는 (Z/p^5 Z)^*가 cyclic인걸 이용해서 Z/pZ에서 quadratic residue면 /p^5 에서도 그렇다는거 쓰면 됨 (물론 p와 서로소인 애들)
그냥 편하게 풀어주면, 우선 식을 4(x^2-1)^2 = 3으로 정리하고, 3이 mod p로 quad nonresidue면 해없음. residue면 해를 u, -u라고 할때 1+u, 1-u 중에 하나라도 residue가 있거나 0이 있으면 풀리는거고 둘다 nonresidue면 안풀리는거지
근데 0인 애는 mod p^5로 lift가 될지안될지 모르고 막상 계산해보면 그 케이스가 아마 안나타날 확률이 높으니, (0아닌) residue가 나오면 mod p^5로 lift되는건 한번에 보조정리로 증명하고 넘길수 있음
이제 3 mod 11, 3 mod 13은 풀수있다고 보고, 3 mod p에 Legendre Symbol 계산하면 (-1)^(p-1)/2 (p/3)이라 mod 12로 볼때 두개의 p만 고려하면 된다는거 암 각각에 대해 풀어도 끽해야 6-8개니 다 케이스별로 해있는지 적을 수 있을듯