[일반] 선대 Dual space

[익명(211.234)]

프리드버그쓰는데 다음주 시험범위가 여기까지거든… 연습문제까지 다보긴했는데도 아직도 뭐하는건지 잘이해가안가네; 더블듀얼은 더 난해하고 방법없나

[익명(211.234)]

원래 공간에서 다른 공간을 “만들어내는” 방법 중 하나라고 생각하면 됨. 이게 원래 공간과 isomorphic 한거고. 듀얼은 그냥 드라이하게 “operator의 space”라고 생각하고, 더블듀얼은 naturally isomorphic하다는것정도만 주의하셈.

[익명(210.183)]

벡터공간 V가 있는데 f : V->R 와 같은 domain이 V인 Linear Function들의 집합을 만들었더니 다시 벡터 공간이 되는 거지. 파생되는 Thm들은 일반 벡터 공간에서 다루는 것과 다르지 않지. 어차피 Finite에서만 주로 다룰거니까. V* 의 basis를 찾거나 행렬표현으로 어떻게 만들건지. 좀 더 생각해보면 nondegenerate와 같은 조건을 걸었을 때 V*를 어떻게 볼 지 공부할 수 있을거임.

[익명(175.215)]

벡터공간 자체가 '군'에 '스칼라곱'을 준거잖음. 근데 애초에 '군'이라는거는 자기동형사상(전단사 함수들을 원소로, 합성함수를 연산으로 삼는 군)을 조지기 위해서 개발된 도구임.거기다 공역이 벡터공간이면, 원소로서의 함수에 스칼라곱을 하는 것도 자연스럽게 정의할 수 있음

[익명(175.215)]

벡터공간V가 주어졌을 때, 이런 함수들을 벡터로 하는 벡터공간을 듀얼공간이라고 부름. 함수들을 연구하면 그 자체로도 정보를 얻지만, 정의역과 치역의 정보도 일부 얻을 수 있음. 그래서 듀얼공간도 벡터공간이니 또 듀얼을 생각해 볼 수 있겠지?

[익명(175.215)]

그런데 다행히도, 다항식의 해를 복소수까지'만' 확장하는 것으로 충분한 것 처럼, 듀얼에 듀얼에 듀얼에,... 이렇게 확장항 필요가 없음. 듀얼 2번 한 공간이 처음 벡터공간V와 동형이어서, 사실상 '거의'같은공간 취급하니까