[일반] compact <-> closed and bounded

[Compact(kskn36)]

실수 아니어도 성립하는거 처음알았네

신기방기

[익명(203.228)]

모든 위상에서 성립하는걸로 아는데

[Compact(kskn36)]

spaces with the Heine–Borel property 에서만 성립한댕

[익명(110.76)]

ㅈㄹㄴ

[익명(58.127)]

실수 아니면 일반적으로 성립 안 함 정신차려

[Compact(kskn36)]

보통 하이네 보렐 처음 배울때 실수로 국한해서 배우니 실수 아니면 일반적으로 성립 안하겠지.. 다만 내가 말한건 실수가 아니어도 성립하는 경우가 있다는걸 처음 알게 되었다는거

[익명(58.127)]

뭐 극단적인 경우로는 유한집합에 discrete metric을 주면 자명하게 성립하겠지? 다만 Heine-Borel property를 일반적인 거리공간에서 말하는 것 자체가 꽤 위험한게, d가 metric이면 d/(1+d)도 equivalent한 metric이고 이 경우 boundedness라는 조건 자체가 무의미해짐

[익명(58.127)]

결국 H-B는 위상 자체에 대한 이야기가 아니고 metric 자체에도 영향을 받는 성질이라는 거임. 다만 topological vector space로 무대를 옮기면 어떤 공간들은 무한차원이면서도 H-B가 성립하긴 하는데 이 경우는 또 locally bounded가 되지 않는 등 안 좋은 성질을 가짐

[Compact(kskn36)]

[익명(58.127)]

그래서 종합적으로 “좋은” 공간들 중에서 H-B까지 만족하는 공간은 R^n밖에 없고, 나머지는 어느정도 pathology를 가짐

[익명(203.228)]

우왕 나도 배워가요

[pseudo(kimbabsa)]

<- 성립안함 - dc App

[Compact(kskn36)]

iff임