Sin(n)이 L로 수렴한다고 가정하면
Sin(2n)도 L로 수렴한다
Sin(2n)=2cosnsinn이므로

L=2L lim n->inf cosn

따라서 L=0이거나 cosn이 1/2로 수렴해야한다.

L=0이 불가능함을 보이자
모든 양수 e에 대해 자연수 N이 존재하여 n>=N일때
l sin n l <e이 성립해야하므로
e=sin(pi/100)일때도 성립해야한다.

l sin n l <sin(pi/100) 이 n>=N일때 항상 성립한다는 말은

n>=N인 임의의 자연수 n에 대해 대응되는

정수 P(n)이 존재하여

P(n)pi - pi/100 < n < P(n)pi + pi/100 이 성립해야한다.

허나 저 범위에 속하는 "어떠한 자연수 n에 대해서도"

P(n+1)pi - pi/100 < n+1 < P(n+1)pi + pi/100 을 만족하는
정수 P(n+1)이 존재하지않으므로,이는 모순이다.

따라서 L#0이다.

cos n이 1/2에 수렴하지 않음또한 이 방법과 동일한방법으로 쉽게보일수있다.

이때는 e=sin(pi/6 - pi/100) 으로 잡아주면, cosx=1/2이되는 x로부터 pi/100차이씩 벌어진다. (삼각함수의 대칭성을 이용하여 규명할수있다.)

(6p(n)+1)pi/3 -pi/100 < n < (6p(n)+1)pi/3 +pi/100

or

(6p(n)+5)pi/3 -pi/100 < n < (6p(n)+5)pi/3 +pi/100

이 되고, 저 범위에 속하는 어떠한 자연수 n에 대해서도

(6p(n+1)+1)pi/3 -pi/100 < n+1 < (6p(n+1)+1)pi/3 +pi/100

or

(6p(n+1)+5)pi/3 -pi/100 < n+1 < (6p(n+5)+2)pi/3 +pi/100

가 성립하지않으므로 모순이다. 따라서 cosn은 1/2에 수렴하지 않는다.




따라서, 수열 Sin(n)은 발산한다.

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