질문 1. 위 사진에서 근방을 "잡을 수 있으므로"가 아니라, "잡을 수 없으므로" 아닌가요??
근방의 정의에서 엡실론은 0보다 커야 하니까, 극한점 x 그 자체에서는 근방을 잡을 수 없기 때문에
열린 집합이 될 수 없는 것 아닌가요??
질문 2.
위 사진의 첫번째는 3.2 연습문제 2.의 사진이고,
두번째 사진은 그에 대한 풀이인데,
2.(b)에서 B 집합이 열린집합인지에 대한 풀이가 이해가 가지 않습니다.
해석학 책에서 "열린 집합"의 정의를 "모든 점 a(O의 원소)에 대해 O에 포함되는 엡실론-근방(O의 부분집합)가 존재할 때 집합 O를 열린집합이라고 한다."
로 했는데요. 이 정의랑 유리수의 조밀성을 합치면 0<x<1에서의 모든 유리수에 대해 엡실론이 계속 작아지더라도
괜찮은 거 아닌가요? 즉, 0<x<1에서의 모든 유리수(점)에 대해 근방이 존재하는거 아닌가요??
아니면, 이 엡실론이 임의의 양수이므로, 무리수, 유리수 둘다 가능해야 하는데,
본래 집합이 유리수 집합이면 이 엡실론 자체가 무리수일 수 없고, 그러면 임의의 양수인 것은 아니라서
그런건가요??
1. O가 open이고, x가 O의 원소면 x를 포함하는 O의 open subset을 잡을 수 있지. 그래서 O^c의 원소를 포함하지 않는 x의 근방이 존재하니까 극한점이 아님.
그래서 x는 O의 원소가 아니고 O^c의 원소여서 증명 끝.
2. Open과 closed는 너가 이해한대로 상대적인 개념이라 어느 공간에 대해서 open인지 묻는지 잘 봐야하는데 이 경우에는 R의 subspace로 open인지 묻는거라 open도 closed도 아님.
R의 subspace로 open인지 묻는거 라면, 엡실론이 무리수인 것도 가능해야 하므로, open이 아닌건가요?
엡실론이 무리수인가는 이 문제에서 중요한 건 아닌 거 같은데. 그것보다는 R의 subspace로 open이라는 거는 어떤 open interval (a,b)가 저 set 안에 subset으로 집어넣을 수 있느냐인데 그건 불가능하지. 왜냐하면 임의의 두 유리수 사이에 항상 무리수가 있고 이 무리수는 저 set이 포함안하고 반대로 (a,b)는 유리수, 무리수 가릴 것 없이 모든 실수를 포함하고 있으니까. 그냥 답지 해설이 맞는거임.
그말은 (a,b)는 R의 부분집합인데, B는 유리수 집합이라 그냥 안되는 거네요? 왜냐면 (a,b)에는 무리수들이 있는데, B에는 없으니… 근데 그러면 만약 (a,b)를 Q에 대해서로 한정하면 열린 집합인가요?
Q의 subspace로 보면 open임. B=Q n (0,1)이니까.
아 잘못썼는데 Q n (a,b)는 Q의 subset으로는 자명하게 open이고 R의 subset으로는 open이.아님
B가 open이라고 가정하면 각 x in B에 대해 x를 포함하고 B의 subset인 open ball이 존재하는데 얘는 구간이니까 무리수가 들어감(0과 1 사이의 무리수들) 그럼 모순이 생기니까 B는 open set이 안됨
그리고 수열 (1-1/n)^n을 만들면 얘는 1/e로 수렴하니까 B는 closed도 아니고