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0이상의 모든 정수가 특별함은
"귀류법"을 통해 증명할 수 있다.

만약 특별하지 않은 0이상의 정수가 하나라도 존재한다면,
"특별하지 않은 0이상의 정수 중 최소인 정수"가
반드시 존재하고, 이 수는 특별하지 않은 0이상의 정수 중

최소의 수므로 매우 특별하여,가정에 모순이 된다.

동일한 방식으로 음의 정수가 특별함 또한 쉽게 보일 수 있다.
이 경우는 특별하지 않은 최대의 정수가 존재함을 통해 모순을 이끌어낼 수 있다.

따라서 모든 정수는 특별하다.

그러면, 모든 유리수도 특별할까?

우리는 자연수 집합과 유리수 집합 사이에
전단사 함수가 존재함을 안다.

만약 특별하지 않은 유리수가 하나라도 존재한다면,
임의의 전단사 함수 f:N->Q에 대하여

f(n)이 특별하지 않은 유리수인
최소의 자연수 n이 항상 존재한다.

따라서 f(n)이라는 유리수는 매우 특별하다!
이는 가정에 모순이므로, 모든 유리수 또한
특별함을 알 수 있다.

그럼 혹시 모든 "실수" 도 특별할까? 이 경우는 선뜻 논의를 진행하기 어려워보인다. 하지만 이 또한 적절한 통찰을 통해 증명할 수 있다.

우리는 실수 집합이 유리수 집합과
무리수 집합의 합집합임을 알고,

임의의 무리수로 수렴하는 유리수열이 존재함 또한 안다.

만약 어떤 무리수 Alpha가 특별하지 않은 수 라면,

Alpha로 수렴하는 유리수열 A_n이 반드시 존재한다.

또한, 이 유리수열의 모든 항은 특별한 수이다.

모든 항이 특별한 수로 이루어진 수열의 극한이 특별하지 않은 수라는 것은 "매우 특별한" 결과이다!

따라서 이 무리수 Alpha는 특별한 수가 되므로
가정에 모순이다.

따라서, 모든 실수는 특별하다.

마지막으로, 모든 복소수도 특별할까?

이는 허수 i가 특별한 수임을 보임으로써 증명 할 수 있다.

허수 i는 제곱을 하였음에도 불구하고,
음의 실수가 되는 수이므로 매우 특별한 수이다!

또한

임의의 복소수 Z에 대하여

Z=a+bi를 만족하는 두 실수 a,b가 존재하기 때문에,

Z는 특별한 수들의 사칙연산으로 구성된 수이다.

만약 Z가 특별하지 않은 수라고 가정하면,

특별한 수들의 사칙연산으로 구성된 수가
특별하지 않다는 것이므로 이는 매우 특별한 결과이다!
따라서 Z는 특별한 수가 되므로 가정에 모순이 된다.

최종적으로,

"모든 복소수는 특별하다"




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