P(z) = a_n * z^n + a_(n-1) * z^(n-1) + ... a_1 * z_1 + a_0 인 다항식이 있다고 하겠습니다.
여기서 a_k 는 모두 실수인 계수들의 집합입니다.
만약 z = x+y*j = exp(b*pi) 라고 할때, P(z*) =0 도 성립 하는 건 기정 사실이지만, 왜 그런지 알고싶습니다.
2차방정식의 근의 공식에서는 실수가 아닐경우에, 근이 두개 나와서 2차 다항식에서는 그렇다고 할 수 있지만,
n차 다항식에서는 제가알기로 5차방정식 이상의 근의 공식은 없는 걸 로 알고 있습니다
수학과는 아니지만, 어렵지 않게 복소평면의 극 좌표계로 설명해주신다면 더욱 감사할 것 같습니다
3차함수를 생각해보면 적어도 하나의 실근이 존재 그럼 인수분해 해서 나머지 2차항은 [두 실근 , 중근, z와z*] 셋 중 하나겠지 4차함수는 네 실근, 두실근과 두복소근(z,z*), 한실근과 삼중근... 이런식으로 모든 n차 식은 1차식과 2차식의 곱으로 이루어져 있고 실근이 없는 2차식이 있으면 이것 때문에 z, z*인 복소근이 생기기때문
Z가 실계수 다항식 f(x)의 근이면 f(z*)=(f(z))*이랑 같음. 왜냐면 계수가 실수라서 전체에 켤레복소수를 취해도 계수는 그대로 남음. 근데 f(z)=0이고 0의 켤레복소수는 0이니까 f(z*)= f(z)*=0*=0임. 고로 z*도 근이 됨. 이건 automorphism을 배우면 좀 더 세세히 알아보게됨.
저 방정식 양변에 켤레를 취해보자