집합 e_k가 어떤 벡터 공간 V의 정규 직교 기저라면 다음이 성립하였습니다.
약간 더 확장해서 정규 직교 기저의 차원이 가산이라면 다음과 같이 적을 수 있었습니다.
대표적으로 푸리에 급수가 위 꼴이죠. 이와 유사하게 그 집합이 개수가 실수의 order와 같다면 가장 자연스러운 정규 직교 기저의 확장은 다음이 될 것이라고 추측했는데요.
당장 이렇게 확장했을 때, 슈바르츠 공간에서의 내적
에 대하여 푸리에 변환
로써 위 확장대로 얻을 수 있었습니다. 저는 여기서 디랙 델타 함수까지 포함해도 이를 만족할 수 있을 거라고 추측을 하였는데요. 여기서 질문입니다:
1. 위 논리 전개는 많이 부자연스러울까요? 무언가 수학적인 언어로 확장하지 않았음은 잘 알고는 있습니다 ㅜㅜ. (교수님께 그건 니 생각에 불과하다고 극딜까지 먹은...)
2. 만약 위가 성립한다면, 다음의 명제는 참일까요?
역방향의 논리 전개는 대충 다음과 같을 것으로 생각합니다.
"좋은" 내적공간(separable Hilbert space)은 가산개만의 기저(이것도 Hamel인지 Schauder인지 구별해야하는데 여기선 후자임)를 가지기 때문에 이후 논리가 사실 별 필요가 없음...
uncountably many basis element가 있다면 위에서 적은 식이 uncountable summation일텐데, uncoutable sum의 수렴성을 잘 논할 수 있겠음?
f가 슈바르츠 공간의 원소인 것으로 적분의 수렴을 논하는 것은 충분치 않을까요? 디랙 델타를 추가하긴 하였는데 이는 좋은 핵 {K}와 그 푸리에 변환의 집합 {G}를 도입하면 어느 정도 설명할 수 있을 것 같다고 생각하였습니다. - dc App
당장 푸리에 급수 역시 그 급수가 수렴함을 논하기 위하여 1. 적분 가능하면 L2 노름의 센스에서 수렴한다. 2. 연속이고 급수가 절대수렴하면 수렴한다. 등 여러 조건을 걸었던 것처럼, 급감소하는 함수들만(+디랙 델타)을 가지고 저 uncountable sum을 논하기에 충분할 것이라고 추정하였습니다. - dc App
잘 이해가 안 되는게 basis element들이 어케 주어진거임? e_k는 exp(i*2pi*k)로 잘 주어지는데 e_\xi는 어떻게 대응시킨건지 잘 모르겠음. e_k를 저렇게 잡은 이유는 저렇게 잡아야지 주어진 내적에 따른 e_k들의 내적이 N 위에서의 counting measure와 동등해져서인데, 밑에서 d\xi로 measure를 준거 보면 R 위의 standard measure로 비슷한걸 하고 싶어하는 거 같은데 그러려면 e_\xi가 아주 특별한 형태의 잘 잡은 함수여야할 거 같은데
e_/xi는 일단 푸리에 변환을 기준으로는 exp(2/pi i x /xi)가 될 것 같습니다. 그렇다면 푸리에 변환이 슈바르츠 공간에서의 내적이고 푸리에 역변환이 위에서 추정한 uncountable sum에 대응됩니다 - dc App
우선 uncountable sum이라는 건 말이 안 되기 때문에 integral이 countable version의 uncountable analogy가 된다고 보는게 맞음. 그거랑은 별개로 dirac delta를 포함하는 "공간"이 정확하게 뭔지 기술이 되어야 함. 뭐 formal한 식이면 뭔 식이든 조작을 못 하겠음...
delta function은 function이 아니라 취급할 때 좀 주의할 필요가 있음. 위에서 적분 순서를 바꾸고 어쩌고 해서 나온 결론은 사실 classical analysis로도 충분히 보일 수 있는데, 그걸 저런 식으로 쓴다고 해서 이미 참인 명제를 analogy로 이런 식으로 볼 수도 있겠구나 이상의 의미를 가지진 않는 것으로 보임.
그 정도면 사실 충분하다고 생각합니다. 교수님께서 참인 명제의 조작 정도라는 거에도 부정적인 반응을 보이셔서... - dc App
디랙 델타가 distribution이라 다루기 어려움에도 계속 도입을 바란 이유는, 예를 들어 푸리에 변환에서 exp(2pi*x*xi)가 정규 직교 기저의 성질을 integral sense에서 보이는데, 이제 이걸 e_xi라고 했을 때 e_xi1과 e_xi2의 내적이 델타(xi1-xi2)가 되기 때문에 있어야겠구나 싶어서거든요. 아무튼 공대 학부생따리의 의문에 답해주셔서 감사합니다. - dc App
읽는 중이긴 한데 일단 나이브하게 생각하면 적은 것들이 대충 맞긴 하다만 엄근진하면 논리 전개가 좀 많이 부족함.
수학 지식이 많이 부족하다보니 ㅜㅜ 디랙 델타 이런 것도 사실 공대 신호 처리에서 대충 쓰다보니 아는 거고 제대로 아는 것은 rudin해석학 절반 정도에 stein 푸리에 4장 정도가 다인지라 설명할 언어도 논리도 많이 부족하네요. - dc App
뭘 예시로 들면 좋은지 모르겠는데 으음... Fourier transform이 워낙 좋은 연산자라 사실 (내가 공대에서 얼마나 하는지는 모르지만) 행복회로 돌리는 것들이 왠만하면 잘 통한다만 안 되는 예시를 가져와보면, 예를 들면 exp(ix) 자체가 integrable하지 않기 때문에 생각보다 이론 전개할 때 노베이스로 하기 생각보다 쉽지는 않음. Distribution sense까지 내려야 되는 케이스들도 있고. 디랙 텔타처럼.
다른 예시로는 L^p 공간을 하는지 모르겠지만 L^p, p가 2보다 클 때의 경우 Fourier transform한 결과가 함수가 아닌 distribution level까지 되는 결과도 있음.
네네 그래서 위에서도 디랙 델타는 있어야겠구나 싶어서 아무튼 '슈바르츠 공간에 디랙 델타 추가한 공간'이라는 괴상한 공간을 만들었죠. - dc App
Dirac delta가 아닌 distribution도 있어서 굳이 vector space를 dirac delta만 넣어서 그렇게 만들었는지는 모르겠는데 Dirac delta 미분한 것도 distribution에 들어가고, 미분 연산자에 대해서 coherent한 theory를 만드려면 결국 distribution 전체를 넣는 게 맞을 거 같기도 하고
이거 한 번 봐 보셈.
https://web.abo.fi/fak/mnf/mate/kurser/fourieranalys/chap3.pdf
디랙 델타 말고는 아는 distribution이 없어서 그거만 넣은 거긴 합니다 ㅋㅋㅋ 일단은 그래도 나이브하게는 얼추 맞아보이는 정도는 되는군요 ㄱㅅ함당 - dc App
내가 distribution theory를 잘 몰라서 Dirac delta들만 가지고 Whole distribution (=S')을 만들 수 있는지는 모르겠다만 아마 적당히 좋은 공간에서는 저것들만 가지고 Distribution theory를 전개할 수 있다고는 기억하고 있고, 결국 S' 위에서 Fourier를 정의하고 싶다는 거 같은데. 이걸 엄밀하게 적은 건 아니지만
전반적으로 중구난방이고 딱히 formal하게도 계산을 제대로 한게 아닌듯(ex)디렉델타가 필요하다는 논리를 이해못하겠음)