[대학교이상] 글이 난잡해서 조금 정리 좀 해봤습니다

[익명(1.233)]

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공대생인데 질문하나 부탁드립니다.

우선 시작은 슈바르츠 공간이죠. 거기서 푸리에 변환이 성립하여

입니다. 또한 δ>0에 대하여

라고 하면

가 성립합니다. 이때 δ->0일 때 다음이 성립합니다.

즉 K는 디랙 델타의 성질을 가지게 되고, G는 1로 수렴하게 됩니다. 이로부터 만약 f가 다음을 만족하는 경우에 대해서도 푸리에 변환을 생각해볼 수 있게 됩니다.

예시로, f(x)=exp(2 i pi f x)를 생각해보겠습니다. 이 자체만으로는 실수에서의 적분이 존재하지 않으나, h(x) = f(x)G_(δ)(x)는 슈바르츠 공간의 함수이고 따라서 적분이 수렴하여 푸리에 변환 가능합니다.

이 식에서 δ->0을 취하면 g는 f로, g의 푸리에 변환은 디랙 델타(ξ-f)로 수렴하게 됨을 확인할 수 있습니다.

따라서 전 글에서 언급한 어떤 공간 V을 약간 구체화시키자면, 슈바르츠 공간 + 무한 번 미분가능하고 모든 도함수가 유계인 함수들의 집합 + 디랙 델타로 구성되는 공간이 됩니다. 이러면 푸리에 변환이 V에서 V로 향하는 사상이 될 것으로 추측합니다.

또한, 전 글에서 디랙 델타를 도입하는 당위성에 대하여 의문을 표하시는 분이 계셨습니다. 디랙 델타를 도입하고자 하는 이유는 다음과 같습니다:

전 글에서 언급한

을 푸리에 변환이 만족하므로, 집합

가 있었습니다. 그런데 위 식은 정규 직교 기저의 성질에서부터 확장하여 추정한 식이었습니다. 따라서 {e_ξ} 역시 그러한 일종의 '직교성'을 가지는지, '정규화'되었는지 역시 의문으로 남게됩니다. 이를 확인하기 위해서는 다음의 연산을 취해볼 필요가 있습니다.

푸리에 변환에서는 다음의 연산이 될 것입니다.

따라서 이 적분의 값을 특정하기 위하여 디랙 델타를 도입하고자 한 것입니다. 디랙 델타를 도입한다면, 이 적분은 디랙 델타(ξ_1-ξ_2)가 되어, ξ_1과 ξ_2가 서로 다르다면 0을 가지므로 일종의 '직교성'을 가지며, 같다면 1이 아닌 디랙 델타(0)으로써 일종의 '정규화'된 것으로 볼 수 있다고 생각합니다.

여전히 무언가 논리 전개를 대충하였다, 빈약하다고 생각하는 부분이 있으시다면 피드백해주신다면 감사하겠습니다.

P.S. 디랙 델타를 위의 G, K를 바탕으로 근사시키는 것에 의문을 표하시는 분들이 계실 것 같습니다. 당연히 배움이 짧은 저도 맞다라고 확신할 수는 없지만, 실제 계산과 같은 경우가 많아 충분히 괜찮다고 생각합니다. 예시로 다음의 식 역시 같은 값을 내놓게 됩니다.

과정은 다음과 같습니다.

즉 G, K를 통하여 oscillatory factor가 다른 경우(위 예시는 2pi 에서 1로 바꿈)에 나오게 되는 값을 구할 수 있습니다.

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[익명(143.248)]

얜 크로네커 델타랑 디랙 델타랑 헷갈린듯

[익명(58.127)]

Distribution (또는 tempered distribution)에 대해 검색해보자