[대학교이상] 정적분에 대한 잘못된 논증 파훼법좀

[익명(118.235)]

int a to b f(x) dx

를 계산 할 때

g(a)=g(b)인 함수 g에 대해

t=g(x)로 치환하면,

f(x) dx 가 h(t) dt 로 변환되는 h에 대하여

int a to b f(x) dx =  int g(a) to g(b) h(t) dt

인데 이는 항상 0이다.

따라서 임의의 정적분의 값은 0이다.

이 오류를 파훼하기위해 어떤게 필요할까?

- dc official App

[익명(211.46)]

t=g(x)인데 f(g^-1)로 넣어야하는데 일대일대응이 아니니까 문제가 생긱지

[익명(118.235)]

이거는 틀린설명인게 일변수함수는 치환할때 일대일대응이아니더라도 문제없음 - dc App

[익명(118.235)]

일례로 int 0 to 1 x dx에서 t²=x로 치환하면 2t dt = dx 로부터 int 0 to 1 2t³ dt = int 0 to -1 2t³ dt = int 0 to 1 x dx = 1/2로 모두 문제없이나옴 - dc App

[lysis(lionwon0203)]

일댜일대응 아니어도 된다에 동의하지만 0부터 1까지의 범위에서 x=t^2은 일대일대응임

[익명(118.235)]

h의 존재성

[익명(110.70)]

h(g(x))g'(x)=f(x) <=> h(t)=f(g^-1(t))/g'(g^-1(t))이므로 h가 하나로 결정되지 않는 경우가 발생함. 예로 g(x)=(x-a)(x-b)로 두면 x=a일때 h(0)=f(a)/(a-b)이고 x=b일 때 h(0)=f(b)/(b-a)임.