[일반] 다음 수가 무리수임을 증명할 수 있는가?

[익명(118.235)]

어케함

- dc official App

[익명(118.235)]

x^2-2가 Q위에서 기약이고 x^3-2가 Q(root2) 위에서 기약, x^5-2가 Q(root2,세제곱근2) 위에서 기약이니까 (다 소수라서 서로 포함 안한다는거 보일 수 있음) Q 벡터공간 Q(제곱근2,세제곱근2,다섯제곱근2) 에서 1,제곱근2,세제곱근2,다섯제곱근2 는 일차독립임

[익명(118.235)]

따라서 어떤 전부 0은 아닌 유리수 a,b,c,d에 대해서도 a=b제곱근2+c세제곱근2+d다섯제곱근2 형태로 쓸 수 없음 따라서 주어진 수는 유리수가 아님

[익명(118.235)]

그럼 확장해서 완전K제곱수가 아닌 임의의 유리수 a_k에 대해 모든 자연수 n에 대해 sum k=1 to n (a_k)^1/k도 무리수야? - dc App

[익명(118.235)]

될거같긴 한데 잘 모르겠네