[대학교이상] 행렬 잘알 있음?

[익명(218.237)]

지능이슈로 못풀겠다ㅅㅂ... 행렬 A가 정칙행렬일때 (2) (3) (4) 어떻게 구하는거임? 몇시간동안 붙잡고있는데 모르겠다 

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(2) 1. det(A) = 0인 경우. adj(A)는 A의 cofactor matrix의 전치행렬이고, cofactor matrix의 정의에 의해 A에 zero row / column이 존재할 때 A의 cofactor matrix에는 zero column / row가 존재함. 따라서 det(adj(A)) = 0이 되어 성립 - dc App

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(2) 2. det(A) != 0인 경우. A adj(A) = det(A) I의 양변에 det를 씌우면 det(A) det(adj(A)) = det(det(A) I) = [det(A)]^n이고 양변을 det(A)로 나누면 증명 완료 - dc App

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(3) A adj(A) = det(A) I에서 A의 자리에 adj(A)를 대입하면 adj(A) adj(adj(A)) = det(adj(A)) I임. adj(A) = det(A) A^(-1)이므로 양변에 adj(A)의 역행렬을 곱하고 (2)의 결과를 이용하면 증명 완료 - dc App

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A가 가역이 아닌 경우, det(A) = 0이고 adj(A)는 적어도 하나의 zero row 또는 zero column을 가지므로 adj(adj(A)) = O이 되어 O = O, 성립. - dc App

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adj(A)가 zero row를 갖는 경우를 생각해보자. 이 row의 원소를 고르면 minor에 0이 곱해지므로 0이고, 이 row의 원소가 아니라면 0이 아닌 원소에 minor가 곱해지지만 이 소행렬은 zero row를 포함하므로 det = minor = 0이다. 따라서 adj(A)의 cofactor matrix는 영행렬이고 adj(adj(A))도 영행렬이다. - dc App

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(4) A가 가역이 아닌 것은 det(A) = 0인 것과 동치이고, A의 invertibility와 무관하게 A adj(A) = I임을 증명할 수 있다. 따라서 det(A) I = 0I = O. - dc App

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A adj(A) = det(A) I 수정 - dc App

[익명(218.237)]

감사합니다. 복받으세요.