잡소리: 우연히 유튜브에 미분연상이 뜸 라이프니츠 무한소개념부터해서 쭉 봄 다보고 1학년때 들은 경제수학 엡실론델타내용 영상 까지 다보니까
dx가 그럼 먼데 하며 하루종일 인터넷을 배회하다 요기 까지옴 ㅠ
질문 :dy/dx 분수 맞는거아님?
(극한을 표현하며 미분하라는 뜻이다 dy dx는 수가 아니다 무한소는 표준해석학에서 없기 때문에)
근데 공대쪽에선 미분형식, 선형근사함수를 이용해 dy dx를 하나의 함수로 보고 다시 정의해서 라이프니츠 처럼 꼴릴때로 쓰고싶게 만들은거 같아보인다
그럼 걍 dy/dx 는 함수/함수 분수아님!?
아 혹시 함수/함수는 분수가 아니고 함수인가..
https://pomp.tistory.com/941
대학수학 맛보기 - 미분형식
PDF 파일로 보고 싶은 분은 이걸로. 지난 번 “대학수학 맛보기”에서 적분 이야기를 했으니, 다음은 미분 이야기를 하면 적당할 것 같다. 뭔가 순서가 바뀐 것 같은 느낌이 든다면, 기분 탓이다. 고등학교에서 미분을 처음 배울 때, 함수 \(y=f(x)\)의 미분을 다음과 같이 정의한다.\[\frac{dy}{dx} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{\Delta y}{\Delta x} = \lim_{\Delta x \to 0} \frac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}\] 그러고 \(dy/dx\)를 “미분계수(differential coefficient)”라고 부른다. 생각해 보면 참으로 기묘하고 마술 같은 식이다. 이름부터 이상하다. 저 값이 어딜 봐서 “계수”라..
pomp.tistory.com
분수처럼 작동하는거죠, 연산에서
그런데 디와이디엑스는 전체가 하나의 함수로 작동한다는 것이, 분수개념과는 확실히 다른 것이죠
그러면 함수를 분수처럼 나누고 더하고 곱하고 빼고 입맛대로 써도 ( 함수 연산할때 하면 안되는 경우 빼고) 아무런 문제가 없나요?
안돼요
미분 정의 잘 보면 Δx랑 Δy가 0으로 갈 때 dx랑 dy가 되는 걸로 볼 수 있음... 분수로 보는 게 맞음. 물론 함수지만, 이건 기호의 느낌이기 때문에 전혀 이상하지 않음. 애초에 Δ부터가 그러니까.
근데 대학수학 배운사람들은 분수가 아니라하니까요 궁금해서 하하
dy/dx는 (dy)/(dx)가 아니라 (d/dx)y로 봐야해요. 미분은 미분형식의 개념이 쓰인다기 보다 연산자로서 작용하죠.
dy/dx를 수학적으로 분수 라고 하려면, 각각의 분자 분모 dy dx가 어디의 원소인지 알아야 하고, 그 집합에서 나누기가 무엇인지 잘 정의해야되요. 수학을 좀 더 공부하다보면 dy dx같은건 각각 '미분형식'이라는 집합의 원소라고 배우게 되고 이 집합에 "곱하기"라는게 존재하긴 하지만 dy나 dx가 곱셈의 역원을 가지지 않기 때문에 나누는건 불가능해요. 그럼에도 불구하고, 저런것을 이용해서 계산할 때 (예를들어 연쇄법칙) 마치 분수를 곱하듯 계산이 되는거처럼 보여서 사람들이 그렇게 부르는거에요. 윗댓처럼 dy/dx는, d/dx 라는 연산자에 y라는 함수를 넣은거라고 보는게 맞아요
현대 수학에서는 dx, dy, dxdy, dy/dx, d/dx 요어들을 각각 사용합니다만, 단순 곱셈, 단순 나눗셈이 아닙니다. 실제로 합성함수 미분 같은 경우 분수처럼 사용하는 것 처럼 보이나, 실제로 그렇지 않는 반례의 함수도 존재하며, 새롭게 정의한 연산에서 마치 '분수 처럼' 보이는 친구들입니다.
현대수학에서는 대부분의 용어의 정의를 집합이나, 함수로 하기에, dx, dy를 함수로 볼 수도 있습니다. 위의 사진은 dx를 '어떤 공간에서 실수집합으로 가는 함수'로 본것이며, 가령 1+1=2라는 것은 (1,1)에서 2로 가는 함수로 볼 수도 있습니다.
dxdy, dy/dx는 단순곱셈, 단순나눗셈이 아니기에 예를 들어 dxdydy/dx=(dy)^2 같이 사용하면 안됩니다. 이런 기호들을 라이프니츠가 도입했는데요. 이 시기에는 함수의 엄밀한 정의, 함수의 표준적 표기법도 없었습니다. 연속함수,불연속함수 같은 개념도 없었구요. 실제로 미분의 엄밀한 정의는 이 후 몇 백년 뒤에 이루어집니다.
그렇기에 직관적으로 보이는 몇몇 부분들이 실제로는 다른 경우가 있기에 조심해야 합니다. 그럼에도 불구하고, 미분은 당시에도 유용한 개념이었고, 마치분수의 약분처럼 보이는 듯한 라이프니츠의 직관력은 대단했습니다. 현재 뉴턴의 표기법 보다, 라이프니츠의 표기법이 더 많이 사용하고 있으니까요.
분수 맞아 ㅡㅡ 걍분수로 생각하셈